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[答697] 直角三角形の3辺の比

ヤドカリ

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[答697] 直角三角形の3辺の比


 ∠C=90゚ の△ABC があり、∠A,∠B の二等分線と対辺の交点をそれぞれ D,E とします。

 △ABC の内接円の半径を r とすると、CD-CE=r/1189 になるとき、BC:CA:AB=?


[解答]

 BC=a,CA=b,AB=c とすれば、c2=a2+b2 です。

 また、CD=ab/(b+c) ,CE=ab/(a+c) ,r=ab/(a+b+c) になります。

 CD-CE=r/k とすれば、ab/(b+c)-ab/(a+c)=ab/{k(a+b+c)} 、

 1/(b+c)-1/(a+c)=1/{k(a+b+c)} 、k(a-b)(a+b+c)=(b+c)(a+c) 、

 k(a-b)(a+b+c)=ab+(a+b)c+c2

 k(a-b)(a+b)-(ab+c2)={-k(a-b)+(a+b)}c 、

 2乗して、

 k2(a-b)2(a+b)2-2k(a-b)(a+b)(ab+c2)+(ab+c2)2={k2(a-b)2-2k(a-b)(a+b)+(a+b)2}c2

 k2(a-b)2{(a+b)2-c2}-2k(a-b)(a+b)(ab+c2-c2)+(ab+c2)2-(a+b)2c2=0 、

 k2(a-b)2・2ab-2k(a-b)(a+b)ab+a2b2+2abc2+c4-(c2+2ab)c2=0 、

 2k2(a-b)2ab-2k(a-b)(a+b)ab+a2b2=0 、2k2(a-b)2-2k(a-b)(a+b)+ab=0 、

 2k(k-1)a2-(2k+1)(2k-1)ab+2k(k+1)b2=0 です。

 2k(k-1)(a/b)2-(2k+1)(2k-1)(a/b)+2k(k+1)=0 です。

 a/b={(2k+1)(2k-1)±√(8k2+1)}/{4k(k-1)} です。

 本問では k=1189 だから、

 a/b=(5654883±√11309769)/5650128=(5654883±3363)/5650128=697/696,4060/4059 、

 a:b:c=697:696:985 ,a:b:c=4060:4059:5741 、

 このうち、1189(a-b)(a+b+c)=(b+c)(a+c) を満たすのは、a:b:c=697:696:985 のときです。

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Comments 16

There are no comments yet.
さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪

白くて可愛い花!!
ジャスミンのように見えますが一寸違っているような…
ジャスミンだったらもっと花が沢山寄っていますよね!?

ナイス♪

樹☆  
No title

おはようございます。
関西関東・・雪が舞い散る日では?

このお花なんでしょう。。
手裏剣みたいな可愛い花(例えがおかしい樹です^^)
ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
こちらホワイトバレンタインデーです(o^-^o)

Yasuko  
No title

░ฺ|◕ฺΘ◕ฺ)ノこんにちわ~

雪が降りましたね

この花なんでしょ?
ジャスミン?サスマイナモ?ルクリア?

今日はバレンタインー♪(゚▽^*)ノ⌒☆

◆q(uωu*)ノ[\/] チョコと私の気持ちデス♪

ナイス!☆彡

tsuyoshik1942  
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「一生懸命計算した」記憶があります。そして、答を得たあと、解法を整理するつもりでいましたが、うまく纏まらなかった気がします。

こっこちゃん  
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白くて可愛い花ですね

十字架の ようですね (笑) ナイス

ニリンソウ  
No title

なんでしょうね~
冬咲きハンショウズルかな?

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
たしか...雪の日に家で雪隠詰めとなり ^^;
二元連立方程式を計算させて Orz...求めたのを思い出しました ^^…

ヤドカリ  
No title


写真の花はクレマチス・ユンナネンシス(アンスンエンシス)です。
冬の一番寒い時期につぼみをつけ、開花するそうです。
花の文化園に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
花は上に書きましたように、クレマチス・ユンナネンシスです。
寒い中で咲いていて、カメラを向けました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
今日はキトラでは珍しく雪が積もりました。
なるべく早く記事にしますね。
上に書きましたように、花の名前はクレマチス・ユンナネンシスです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難うございます。
こちらも朝から真っ白でした。
でも、今の時間にはだいぶ融けています。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
この前の雪は夜中に降って積もっていましたが、
今日は朝もずっと降り続いていました。
花はクレマチス・ユンナネンシス、花の文化園で見ました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
計算が面倒な問題でした。
ほとんど直角二等辺三角形といえるような三角形の紹介でした。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
こんな時期にクレマチスと名のつくものが見られるとは思いませんでした。
いろんな植物があるものですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
けっこう面倒な問題でした。
CDとCEがほとんど等しいので、直角二等辺三角形に近いですね。