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[答698] 線分の比

ヤドカリ

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[答698] 線分の比


 △ABCの 辺BC上に点D,辺CA上に点E,辺AB上に点Fがあり、AD,BE,CFが点Pで交わっています。

 BP:PE=9:2 ,CP:PF=2:5 のとき、AP:PD=?


[解答1] メネラウスの定理を使うと

 △PDC と 直線AB でメネラウスの定理より (PA/AD)(DB/BC)(CF/FP)=1 、 

 △PDB と 直線AC でメネラウスの定理より (PA/AD)(DC/CB)(BE/EP)=1 、 

 (PA/AD)(DB/BC)=FP/CF ,(PA/AD)(DC/CB)=EP/BE を加えて、 

 PA/AD=FP/CF+EP/BE=5/7+2/11=69/77 、PD/AD=1-69/77=8/77 だから、 

 AP:PD=69:8 になります。


[解答2] チェバの定理を使うと

 △ACP と 点B でチェバの定理より (AE/EC)(CF/FP)(PD/DA)=1 、

 △ABP と 点C でチェバの定理より (AF/FB)(BE/EP)(PD/DA)=1 、

 (AE/EC)(PD/DA)=FP/CF ,(AF/FB)(PD/DA)=EP/BE を加えて、 

 (AE/EC+AF/FB)(PD/DA)=FP/CF+EP/BE=5/7+2/11=69/77 、

 AE/EC+AF/FB=AP/PD に注意して、(AP/PD){PD/(AP+PD)}=118/69 、

 逆数をとって、(PD/AP)(AP/PD+1)=77/69 、1+PD/AP=77/69 、PD/AP=8/69 、

 AP:PD=69:8 になります。


[解答3]

 △PBC=S,△PCA=T,△PAB=U とすれば、

 BP:PE=9:2 より (U+S):T=9:2 、2U+2S=9T 、

 CP:PF=2:5 より (S+T):U=2:5 、5S+5T=2U 、

 5S+5T+2S=9T 、S/4=T/7=k とおけば、S=4k,T=7k,2U=55k になります。

 よって、AP:PD=(T+U):S=(2T+2U):2S=(14k+55k):8k=69:8 になります。


[解答4]

 △PBC+△PCA+△PAB=△ABC より (PD/AD)△ABC+(PE/BE)△ABC+(PF/CF)△ABC=△ABC 、

 PD/AD+PE/BE+PF/CF=1 、BP:PE=9:2,CP:PF=2:5 だから、

 PD/AD+2/11+5/7=1 、PD/AD=8/77 、AD/PD=77/8 、(AP+PD)/PD=77/8 、AP/PD=69/8 、

 すなわち、AP:PD=69:8 になります。

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Comments 19

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樹☆  
No title

おはようございます。。
青空を地面で見つけた♬
このお花も花の文化園で?

今週も雪の予報が・・お気を付けください

ひとりしずか  
No title

水色のはなびら珍しい~!
パステルカラーもいいですね~
ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

「解答4」スマートですね! こんなに簡明に、一本道で
「(PD/AD)+(PE/BE)+(PF/CF)=1」 が得られるとは驚きました。

自分は、面積比を用いて答を得たのですが、「解答3」のようにすっきり行かず苦戦しました。
出遅れの穴埋めに[一般解」に挑戦し、結果、先の「(PD/AD)+(PE/BE)+(PF/CF)=1」に気づきました。
そして、また新たな「やどかりの定理」のお披露目と感じ入っておりました。

「メネラウスの定理」このような拡大(?)適用知りませんでした。
「チェバの定理」はもともと不調法です。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

なんと言うお花なのでしょう。
水色のお花って珍しいですね。
ナイス☆
もういらないというだけ雪が降りました。

Yasuko  
No title

░ฺ|◕ฺΘ◕ฺ)ノこんにちわ~

温室のお花ですね❤(ӦvӦ。)
ラケナリアじゃないかしら?
よく似てるのですが(^=^;

ナイス!☆彡

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
同じく…Aha!!
これは参りました ^^;
[解答4]のような算数的解法(スマート♪)に思いを馳せることもなく…
即ベクトルという武器で考えちゃいました…反省…Orz~

こっこちゃん  
No title

素敵な色の花ですね

ホッカりできる 色の花で~~

此処の処雨ばかりで 血圧も上がり少し不調です
好きな色の花に ないす☆

ヤドカリ  
No title


写真の花はラナケリア・ビリディフロラです。
原産地は南アフリカで、キジカクシ科の植物です。
青い花は少ないので、気に入っています。
花の文化園の大温室に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
青い花は珍しいですね。
世界にはいろんな花があるものだと感心します。
仰るとおり、花の文化園で見ました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
明るい青色の花は珍しいと思います。
南アフリカ原産ですが、いろんな花があるものです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
[解答4]が、この問題を作った時の元の考え方です。
一見、メネラウスやチェバに見える図になって気に入っています。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
こんな花にはなかなかお目にかかれないと思います。
上に書きましたように、ラナケリア・ビリディフロラという、
覚えにくい名前の花です。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
仰るとおりです。花の文化園の大温室で見られたのでしょうか?
花の文化園はいろんな花が見られるのでいいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
参りましたか?
算チャレのように、算数で解けるという前提があれば、
[解答4]を思いつくでしょう。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難うございます。
体調の良くない中でのコメント、恐れ入ります。
見ていただくだけでも十分ですので、決して無理はなさらないで下さい。
ブログを続けるためにも、ご自愛下さいね。

ニリンソウ  
No title

こんな青い花は珍しいね
植物園温室のヒスイカズラもこんな青でした。
楽しい画像です
ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
仰るとおり、ヒスイカズラに似た色ですね。
どちらにしても爽やかな青です。

湖国から日本を再生させよう会  
No title

チェバの定理、メネラウスの定理、50年前のこと、覚えていますよ。だけど、どうだったかな。元になる三角形をどのように採ったら辺の比になるのかな。それで、簡単な方法だと思ったのが、③の方法、これなら確実に解けるね。④は考えなかった。

ヤドカリ  
No title

湖国から日本を再生しよう会さん、初めまして。
コメントを有難うございます。
「だけど、どうだったかな。」
「元になる三角形をどのように採ったら辺の比になるのかな。」
については、何を意図して書かれたのか、私にはよくわからないのですが、
数学を愉しむ者とどうし、機会があればまたご訪問ください。