[答700] 大きな三角形の面積
[答700] 大きな三角形の面積
BC=4√65,CA=20√2,AB=20 の △ABC があって、その外部に、
図のように、正方形BUVC,CWXA,AYZB を描き、
UV,WX,YZ を3辺の一部とする △PQR をつくるとき、△PQR の面積は?
[準備]
C から AB におろした垂線の足を F とすれば、
CF2=CA2-AF2=CB2-BF2 、BF2-AF2=CB2-CA2 、(BF+AF)(BF-AF)=1040-800 、
20(BF-AF)=240 、BF-AF=12 で、BF+AF=20 だから、AF=4,BF=16 、CF=28 です。
よって、△ABC=20・28/2=280 です。
[解答1]
BC=a,CA=b,AB=c,△ABC=S とし、A,B,C から対辺におろした垂線の足を D,E,F とすれば、
AD=2S/a,BE=2S/b,CF=2S/c になります。
AB,AC の延長と QR の交点をそれぞれ K,M とすれば、△ABC∽△AKM で、
相似比は 2S/a:(2S/a+a)=1:{1+a2/(2S)} ですので、
K から MA におろした垂線の長さは (2S/b){1+a2/(2S)} になります。
KA の延長と RP の交点を N とすれば、△BCA∽△KRN で、
相似比は 2S/b:〔(2S/b){1+a2/(2S)}+b〕=1:{1+a2/(2S)+b2/(2S)} ですので、
R から NK におろした垂線の長さは (2S/c){1+a2/(2S)+b2/(2S)} になります。
また、△CAB∽△RPQ で、
相似比は 2S/c:〔(2S/c){1+a2/(2S)+b2/(2S)}+c〕=1:{1+a2/(2S)+b2/(2S)+c2/(2S)} です。
よって、△PQR={1+(a2+b2+c2/(2S)}2△ABC={1+(a2+b2+c2/(2S)}2S になります。
本問では、△PQR={1+(1040+800+400)/(2・280)}2・280=52・280=7000 です。
[解答2]
[準備]より C から AB におろした垂線の足を F とすれば、AF=4,BF=16,CF=28 ですので、
xy平面上で A(-4,0),B(16,0),C(0,28),F(0,0) とし、ベクトルを太字で表します。
AC=(4,28) だから、AX=(-28,4) 、X(-32,4) になり、
BC=(-16,28) だから、BU=(28,16) 、U(44,16) になります。
PR の傾きは AC の傾きの 7 と等しいので、PRは (1/7)(y-4)=x+32 、
QR の傾きは BC の傾きの -7/4 と等しいので、QRは -(4/7)(y-16)=x-44 、
辺々減じて (1/7)(y-4)+(4/7)(y-16)=76 、(y-4)+4(y-16)=532 、y=120 、
よって、Rの y座標は 120です。
また、PQは y=-20 だから、△PQRの PQを底辺とする高さは 120+20=140 です。
△ABCの ABを底辺とする高さは CF=28 で、△PQR∽△ABC の相似比は 140:28=5:1 だから、
△PQR=(140/28)2△ABC=52・20・28/2=7000 です。
[解答3]
BC=a,CA=b,AB=c,△ABC=S とします。
また、△PQR∽△ABC で、相似比を k:1 とすれば、△PQR=k2S になり、
薄緑色の四角形3個を集めてできる三角形も △ABC と相似になり、相似比は (k-1):1 だから、
その面積は、(k-1)2S です。
従って、k2S-(k-1)2S=a2+b2+c2+S 、
(2k-1)S=a2+b2+c2+S 、2kS=a2+b2+c2+2S 、
k=(a2+b2+c2)/(2S)+1 になります。
本問では、k={(4√65)2+(20√2)2+202}/(2・280)+1=5 だから、
△PQR=52・280=7000 になります。
[解答4] たけちゃんさんの解答より
△ABCの内部に点Dを,
△DBC:△DCA:△DAB=BC2:CA2:AB2=13:10:5となるようにとる.
Dから AB,AC に下ろした垂線の長さの比は AB:AC であり,
Pから AB,AC に下ろした垂線の長さ(それぞれAY,AXと等しい)の比と同じだから,
P,A,D は同一直線上にある.
同様に,Q,B,D や R,C,D も同一直線上.
△ABC=280 であるから,△DBC=(13/28)・280=130 であり,
DからBCに下ろした垂線の長さは 2・130/(4√65)=√65=BC/4.
よって,△DBCと△DQRの相似比は,DからBC,QRに下ろした垂線長の比,
すなわち (BC/4):(BC/4+BC)=1:5 であり,
△DCAと△DRP,△DABと△DPQの相似比もこれと同じであるから,
求める面積は,25△ABC=7000.
☆ この点Dをルモワーヌ点というそうです。
.