[答700] 大きな三角形の面積

[答700] 大きな三角形の面積


　BC＝4√65，CA＝20√2，AB＝20 の △ABC があって、その外部に、

　図のように、正方形BUVC，CWXA，AYZB を描き、

　UV，WX，YZ を３辺の一部とする △PQR をつくるとき、△PQR の面積は？


[準備]

　C から AB におろした垂線の足を F とすれば、

　CF²＝CA²－AF²＝CB²－BF² 、BF²－AF²＝CB²－CA² 、(BF＋AF)(BF－AF)＝1040－800 、

　20(BF－AF)＝240 、BF－AF＝12 で、BF＋AF＝20 だから、AF＝4，BF＝16 、CF＝28 です。

　よって、△ABC＝20･28/2＝280 です。


[解答1]

　BC＝a，CA＝b，AB＝c，△ABC＝S とし、A，B，C から対辺におろした垂線の足を D，E，F とすれば、

　AD＝2S/a，BE＝2S/b，CF＝2S/c になります。

　AB，AC の延長と QR の交点をそれぞれ K，M とすれば、△ABC∽△AKM で、

　相似比は 2S/a：(2S/a＋a)＝1：{1＋a²/(2S)} ですので、

　K から MA におろした垂線の長さは (2S/b){1＋a²/(2S)} になります。

　KA の延長と RP の交点を N とすれば、△BCA∽△KRN で、

　相似比は 2S/b：〔(2S/b){1＋a²/(2S)}＋b〕＝1：{1＋a²/(2S)＋b²/(2S)} ですので、

　R から NK におろした垂線の長さは (2S/c){1＋a²/(2S)＋b²/(2S)} になります。

　また、△CAB∽△RPQ で、

　相似比は 2S/c：〔(2S/c){1＋a²/(2S)＋b²/(2S)}＋c〕＝1：{1＋a²/(2S)＋b²/(2S)＋c²/(2S)} です。

　よって、△PQR＝{1＋(a²＋b²＋c²/(2S)}²△ABC＝{1＋(a²＋b²＋c²/(2S)}²S になります。

　本問では、△PQR＝{1＋(1040＋800＋400)/(2･280)}²･280＝5²･280＝7000 です。


[解答2]

　[準備]より C から AB におろした垂線の足を F とすれば、AF＝4，BF＝16，CF＝28 ですので、

　xy平面上で A(－4，0)，B(16，0)，C(0，28)，F(0，0) とし、ベクトルを太字で表します。

　AC＝(4，28) だから、AX＝(－28，4) 、X(－32，4) になり、

　BC＝(－16，28) だから、BU＝(28，16) 、U(44，16) になります。

　PR の傾きは AC の傾きの 7 と等しいので、PRは (1/7)(y－4)＝x＋32 、

　QR の傾きは BC の傾きの －7/4 と等しいので、QRは －(4/7)(y－16)＝x－44 、

　辺々減じて (1/7)(y－4)＋(4/7)(y－16)＝76 、(y－4)＋4(y－16)＝532 、y＝120 、

　よって、Rの y座標は 120です。

　また、PQは y＝－20 だから、△PQRの PQを底辺とする高さは 120＋20＝140 です。

　△ABCの ABを底辺とする高さは CF＝28 で、△PQR∽△ABC の相似比は 140：28＝5：1 だから、

　△PQR＝(140/28)²△ABC＝5²･20･28/2＝7000 です。


[解答3]

　BC＝a，CA＝b，AB＝c，△ABC＝S とします。

　また、△PQR∽△ABC で、相似比を k：1 とすれば、△PQR＝k²S になり、

　薄緑色の四角形３個を集めてできる三角形も △ABC と相似になり、相似比は (k－1)：1 だから、

　その面積は、(k－1)²S です。

　従って、k²S－(k－1)²S＝a²＋b²＋c²＋S 、

　(2k－1)S＝a²＋b²＋c²＋S 、2kS＝a²＋b²＋c²＋2S 、

　k＝(a²＋b²＋c²)/(2S)＋1 になります。

　本問では、k＝{(4√65)²＋(20√2)²＋20²}/(2･280)＋1＝5 だから、

　△PQR＝5²･280＝7000 になります。


[解答4] たけちゃんさんの解答より

　△ABCの内部に点Dを，

　△DBC：△DCA：△DAB＝BC²：CA²：AB²＝13：10：5となるようにとる．

　Dから AB，AC に下ろした垂線の長さの比は AB：AC であり，

　Pから AB，AC に下ろした垂線の長さ(それぞれAY，AXと等しい)の比と同じだから，

　P，A，D は同一直線上にある．

　同様に，Q，B，D や R，C，D も同一直線上．

　△ABC＝280 であるから，△DBC＝(13/28)･280＝130 であり，

　DからBCに下ろした垂線の長さは 2･130/(4√65)＝√65＝BC/4.

　よって，△DBCと△DQRの相似比は，DからBC,QRに下ろした垂線長の比，

　すなわち (BC/4)：(BC/4+BC)＝1：5 であり，

　△DCAと△DRP，△DABと△DPQの相似比もこれと同じであるから，

　求める面積は，25△ABC＝7000.

☆ この点Dをルモワーヌ点というそうです。

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