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[答700] 大きな三角形の面積

ヤドカリ

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[答700] 大きな三角形の面積


 BC=4√65,CA=20√2,AB=20 の △ABC があって、その外部に、

 図のように、正方形BUVC,CWXA,AYZB を描き、

 UV,WX,YZ を3辺の一部とする △PQR をつくるとき、△PQR の面積は?


[準備]

 C から AB におろした垂線の足を F とすれば、

 CF2=CA2-AF2=CB2-BF2 、BF2-AF2=CB2-CA2 、(BF+AF)(BF-AF)=1040-800 、

 20(BF-AF)=240 、BF-AF=12 で、BF+AF=20 だから、AF=4,BF=16 、CF=28 です。

 よって、△ABC=20・28/2=280 です。


[解答1]

 BC=a,CA=b,AB=c,△ABC=S とし、A,B,C から対辺におろした垂線の足を D,E,F とすれば、

 AD=2S/a,BE=2S/b,CF=2S/c になります。

 AB,AC の延長と QR の交点をそれぞれ K,M とすれば、△ABC∽△AKM で、

 相似比は 2S/a:(2S/a+a)=1:{1+a2/(2S)} ですので、

 K から MA におろした垂線の長さは (2S/b){1+a2/(2S)} になります。

 KA の延長と RP の交点を N とすれば、△BCA∽△KRN で、

 相似比は 2S/b:〔(2S/b){1+a2/(2S)}+b〕=1:{1+a2/(2S)+b2/(2S)} ですので、

 R から NK におろした垂線の長さは (2S/c){1+a2/(2S)+b2/(2S)} になります。

 また、△CAB∽△RPQ で、

 相似比は 2S/c:〔(2S/c){1+a2/(2S)+b2/(2S)}+c〕=1:{1+a2/(2S)+b2/(2S)+c2/(2S)} です。

 よって、△PQR={1+(a2+b2+c2/(2S)}2△ABC={1+(a2+b2+c2/(2S)}2S になります。

 本問では、△PQR={1+(1040+800+400)/(2・280)}2・280=52・280=7000 です。


[解答2]

 [準備]より C から AB におろした垂線の足を F とすれば、AF=4,BF=16,CF=28 ですので、

 xy平面上で A(-4,0),B(16,0),C(0,28),F(0,0) とし、ベクトルを太字で表します。

 AC=(4,28) だから、AX=(-28,4) 、X(-32,4) になり、

 BC=(-16,28) だから、BU=(28,16) 、U(44,16) になります。

 PR の傾きは AC の傾きの 7 と等しいので、PRは (1/7)(y-4)=x+32 、

 QR の傾きは BC の傾きの -7/4 と等しいので、QRは -(4/7)(y-16)=x-44 、

 辺々減じて (1/7)(y-4)+(4/7)(y-16)=76 、(y-4)+4(y-16)=532 、y=120 、

 よって、Rの y座標は 120です。

 また、PQは y=-20 だから、△PQRの PQを底辺とする高さは 120+20=140 です。

 △ABCの ABを底辺とする高さは CF=28 で、△PQR∽△ABC の相似比は 140:28=5:1 だから、

 △PQR=(140/28)2△ABC=52・20・28/2=7000 です。


[解答3]

 BC=a,CA=b,AB=c,△ABC=S とします。

 また、△PQR∽△ABC で、相似比を k:1 とすれば、△PQR=k2S になり、

 薄緑色の四角形3個を集めてできる三角形も △ABC と相似になり、相似比は (k-1):1 だから、

 その面積は、(k-1)2S です。

 従って、k2S-(k-1)2S=a2+b2+c2+S 、

 (2k-1)S=a2+b2+c2+S 、2kS=a2+b2+c2+2S 、

 k=(a2+b2+c2)/(2S)+1 になります。

 本問では、k={(4√65)2+(20√2)2+202}/(2・280)+1=5 だから、

 △PQR=52・280=7000 になります。


[解答4] たけちゃんさんの解答より

 △ABCの内部に点Dを,

 △DBC:△DCA:△DAB=BC2:CA2:AB2=13:10:5となるようにとる.

 Dから AB,AC に下ろした垂線の長さの比は AB:AC であり,

 Pから AB,AC に下ろした垂線の長さ(それぞれAY,AXと等しい)の比と同じだから,

 P,A,D は同一直線上にある.

 同様に,Q,B,D や R,C,D も同一直線上.

 △ABC=280 であるから,△DBC=(13/28)・280=130 であり,

 DからBCに下ろした垂線の長さは 2・130/(4√65)=√65=BC/4.

 よって,△DBCと△DQRの相似比は,DからBC,QRに下ろした垂線長の比,

 すなわち (BC/4):(BC/4+BC)=1:5 であり,

 △DCAと△DRP,△DABと△DPQの相似比もこれと同じであるから,

 求める面積は,25△ABC=7000.

☆ この点Dをルモワーヌ点というそうです。

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Comments 18

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ニリンソウ  
No title

枇杷、この地味な花に美味しい果実が実る
うちは蕾がいっぱいでまだ開いていないようです
今年も摘花して数より質で待ちます。

ナイス

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪

地味な感じの花 回りには小さな実が生っていますね
ヤッパリ琵琶の花のようですね

此方の枇杷の実はもう少し大きいようですね

ナイス♪

アキチャン  
No title

おはようございます。
ビワ?近くのを見てきます(o^-^o)

たけちゃん  
No title

はじめは,三角形AXYの外接円の直径としてAPを求め,そこからPYを得て,
同様にQZも計算することで,AB:PQ (つまり相似比)を求める方法で解きました.

後で再考し,[解答4]になりました.
例えば,問題[649]のように,各辺を等距離だけ外または内にずらす場合,
各辺からの距離の比が1:1:1である点,すなわち内心を考えるのが有効です.
それと同様に考えれば,各辺のずらし方の比が決まっている場合,
各辺からの距離の比がその比と同じになる点を考える方針が浮かぶと思います.

なお,今日調べたのですが,[解答4]の点Dをルモワーヌ点というようです.

uch*n*an  
No title

これはいろいろと考えられる楽しい問題でした。
私の解法は二つ+α。
(解法1)は三角関数による解法,+αはその初等幾何解釈版,(解法2)は[解答3]でした。
[解答1]は単純でスッキリしていていいですね。個人的にはお気に入り。
[解答4]は実は似たようなことを考えていて,
まず,PA,QB,RC の延長が一点で交わることを示してから同様の計算をするものでした。
ただ,(解法2)=[解答3]の方がスッキリしているように感じたので,
解法としてはまとめませんでした。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答3]でした ^^
[解答4]のような点があるに違いないと思うもどう考えればいいのか分からずじまいでした…^^;…たぶん…[解答3]のA,B,Cが一致する点と同じなんだと理解しました☆…Orz~

ひとりしずか  
No title

蕾を見たことあるような・・・
今お花の時期ですか?
ナイス☆

Yasuko  
No title

░ฺ|◕ฺΘ◕ฺ)ノこんにちわ~

枇杷の花

錦織公園に行く途中のところに枇杷の木があるんですが
小さな木ですが、あまり綺麗に咲かないので、いつも見過ごしています♪

ナイス!☆彡

樹☆  
No title

こんにちは・・
びわはね・・長崎の茂木びわ有名です。
お花は平凡だけどつぼみはきれいですよね。
ビワは魔法の木ですよ。いろんな効用が。。ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
私も本当に地味な花だと思います。
実が熟した色のほうがずっと目立つ色ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
枇杷の実は熟すと綺麗ですね。
花が目立たないのは、食べられてしまわない工夫でしょうか?

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
仰るとおり、枇杷です。
写真を撮るのは今のうちでしょうか。少し遅いかも知れません。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難うございます。
[解答4]は内心からの連想だと分かりましたし、
図を描くと、相似の中心であることの予想はできましたが、
私はそのような工夫まではしませんでした。
ルモワーヌ点というものがあったのですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
仰るように、[解答1]が単純でスッキリですが、
図を多く用いるので解答としては作りにくいです。
それから、[解答3]で解けてしまうと、
なかなか他の解法をまとめる気にならないことも合点がいきます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
[解答3]も単純でいいですね。
貴殿の感覚にピッタリ合ったように感じました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難うございます。
此方では、年末~今の時期まで見られます。
ブログで花をアップするようになって、
このような目立たない花にも関心が向くようになりました。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとナイス!を有難うございます。
私は割にいろんな場所で見かける花です。
何度か撮りましたが、なかなか気に入る写真になってくれません。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
長崎の茂木びわ、知りませんでしたが、食べてみたいです。
眼鏡橋にハートの形の石があるのは知っていますが、
枇杷の形の石で作られていたら、全国的に有名になったかも知れません。
可笑しな発想でごめんなさい。