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[答701] 九角形の頂点の座標と面積

ヤドカリ

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[答701] 九角形の頂点の座標と面積


 xyz空間において、x座標,y座標,z座標のすべてが整数の点を格子点と呼ぶことにします。

 球面 x2+y2+z2=50 と 平面 x+y+3z=10 が交わってできる円に格子点は9個ありますが、

 そのうち、x座標が最大のものの座標は? また、この格子点9個を頂点とする九角形の面積は?


[解答]

 xy={(x+y)2-(x2+y2)}/2={(10-3z)2-(50-z2)}/2=5z2-30z+25 、

 (x-y)2=x2+y2-2yz=(50-z2)-2(5z2-30z+25)=-11z2+60z=z(60-11z) です。

 z(60-11z)≧0 より 0≦z≦60/11 、z=0,1,2,3,4,5 、z(60-11z) が平方数だから、

 z=0,1,3,4,5 で、x,y は t2-(10-3z)t+(5z2-30z+25)=0 の解です。

 z=0 のとき t2-10t+25=0 、(x,y,z)=(5,5,0) 、

 z=1 のとき t2-7t=0 、(x,y,z)=(7,0,1),(0,7,1) 、

 z=3 のとき t2-t-20=0 、(x,y,z)=(5,-4,3),(-4,5,3) 、

 z=4 のとき t2+2t-15=0 、(x,y,z)=(3,-5,4),(-5,3,4) 、

 z=5 のとき t2+5t=0 、(x,y,z)=(0,-5,5),(-5,0,5) 、

 従って、x座標が最大のものの座標は (7,0,1) です。

 次に、求める九角形の面積を S,この九角形の xy平面への正射影の面積を T とします。

 xy平面,平面 x+y+3z=10 の法線ベクトル (0,0,1),(1,1,3) のなす角をθとすれば、

 内積が 3 で、法線ベクトルの大きさは 1,√11 だから、cosθ=3/√11 になり、

 T=S・cosθ より、S=T/cosθ=T(√11)/3 です。

 図より T を求めれば、T=207/2 だから、S=(69√11)/2 です。

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Comments 16

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樹☆  
No title

おはようございます
福寿草大好きです。。厳しい冬を超えて春を
伝えてくれます。
以前道路の傍らから・そっと咲いてるのを見てうれしく
なったのを思い出しました。
今週は暖かくなればいいですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
福寿草の黄色は地面に映った太陽のようです。
今週は暖かくなりそうで嬉しいですね。

ひとりしずか  
No title

地面の太陽といった感じがします
ナイス☆

今朝は-7.5℃

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
私の大好きな福寿草ですネ

此方では何故か見掛けることが少ない花です
今年も一度も見てません

春を告げる黄色の幸せの花!!
今日も元気を貰いました(*^▽^)/★*☆♪

ナイス♪

アキチャン  
No title

おはようございます。
毎年、撮っていますが、今年は行けないので皆さんの福寿草を楽しませていただいています(o^-^o)

Yasuko  
No title

(✿❛◡❛ฺฺ)ノぉはよぉ~❤

福寿草~幸の黄色い花•( ◜◡‾)(‾◡◝ )

ほっこりしますねぇ~♡〜٩( ╹▿╹ )۶〜♡

ナイス!☆彡

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
まったくこの発想がなく…^^;
泣く泣くべらぼうなる途中で嫌になるような計算をしちゃいました…
空間は苦手だけど…これは面白くて勉強になる問題でしたぁ☆ Orz~

tsuyoshik1942  
No title

「解答」はすっきりしていますね!
自分は、Z値が等しい2点を結び、4個に区分けし、求積しました。
工夫ができたと思っていましたが、とんでもない間違いでした。
9点の導出も理詰めで、なーるほどです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
-7.5℃では福寿草も凍えますね。
其方にも咲く季節が訪れたら、アップして下さいね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
> 春を告げる黄色の幸せの花!!
> 今日も元気を貰いました(*^▽^)/★*☆♪
と言われれば福寿草も喜んでいることでしょう。
暖かさの伝わる黄色ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難うございます。
この季節に福寿草に会えないのは少し寂しいですね。
写真をよく見てやってください。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
今年はなぜか錦織公園の里の家の福寿草が芽も出していないので、花の文化園で見ました。
この黄色が暖かな気持ちにしてくれます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
正直に計算すると大変なことになりますね。
私にはそこまでの根性がありません。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
影の面積からもとの面積を考える発想がないとかなり面倒だと思います。
ただ、色々と工夫するのが楽しいですね。

こっこちゃん  
No title

福寿草 とても好きな花ですが

此方では 育ちません

そちらの方が寒いのですものね

黄色はビタミンカラーで 元気頂きました ナイス☆

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難うございます。
太陽の国のような日向で育たないとは驚きです。
この黄色のが太陽のようで、私にとっても好きな花です。