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[答703] 直線による平面の分割

ヤドカリ

ヤドカリ



[答703] 直線による平面の分割


 図のように、どの2直線も平行でなく、どの3直線も1点で交わらないように4本の直線を描けば、

 平面は 11個の部分に分かれ、そのうち面積が有限な部分は 3個あります。

 どの2直線も平行でなく、どの3直線も1点で交わらないように 39本の直線を描けば、

 面積が有限な部分は何個?


[解答1]

 n本の直線でできる面積が有限な部分の個数を an とすれば、a3=1 です。

 また、右上図のように、n+1 本目の直線を引けば、もとからある n 本の直線と n 個の交点を作り、

 となりどうしの交点の間で有限な部分は1個ずつ増えるので、

 an+1=an+n-1 (n=3,4,5,……) になります。

 従って、 an=a3+2+3+……+(n-2)=(n-2)(n-1)/2 になります。

 ( この式は n=1,2 のときも成り立ちます )

 本問では n=39 だから、(39-2)(39-1)/2=703 個です。


[解答2]

 n本の直線の場合、左下図,右下図のように、この図形を遠くから見ると、

 面積が有限でない部分の個数は 2n であることが分かります。

 [172] 直線による平面の分割( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-499.html )のように、

 n本の直線による平面の分割は (n2+n+2)/2 個だから、

 有限な部分は (n2+n+2)/2-2n=(n2-3n+2)/2=(n-2)(n-1)/2 個です。

 本問では n=39 だから、(39-2)(39-1)/2=703 個です。


[解答3] たけちゃんさん他の解答より

 平面上の多角形の集合体(右下図)について、

 最初に着目する多角形(水色)については、頂点と辺とが同数なので、

 (面の数)+(頂点の数)-(辺の数)=1 になります。

 それに、多角形(黄色)を1つずつ増やす場合、増やす辺の数は増やす頂点の数より 1 多いので、

 何回繰り返しても、(面の数)+(頂点の数)-(辺の数)=1 になります。

 n本の直線でできる、面積が有限の部分全体について、

 頂点の数は n2=n(n-1)/2 、

 辺の数は 各直線に(n-2)本の辺ができることから n(n-2) 、

 (面の数)=1+(辺の数)-(頂点の数)=1+n(n-2)-n(n-1)/2=(2+2n2-4n-n2+n)/2

  =(n2-3n+2)/2=(n-2)(n-1)/2 です。

 本問では n=39 だから、(39-2)(39-1)/2=703 個です。

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Comments 17

There are no comments yet.
ひとりしずか  
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これは?
花がびっしり・・
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

なんだろ? なんだろ可愛いね。
小さいんだねおしべとめしべが動き出しているね

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「解答1」でした。
[解答2]の「全体数-開放平面の数」の考え方も頭にあったのですが、開放平面の数を上手くつかめませんでした。提示の考え方は参考になりました。
[解答3]まだ消化できておりません。さらに、読ませていただきます。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
[解答2]でした…^^
平面分割の外側を大きな円で囲むと…円は2n個の点で別れ分けられることがわかるので…2nの分だけ引けばいいですよね ^^

コメ欄を読んでて、オイラーの多面体定理が使えることに気付けましたぁ☆ 直線による平面分割にはこの手法も使えるんですねぇ♪…Orz~

こっこちゃん  
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これは カルミヤですかね

以前 我が家の庭にもあったのですが

すぐネ腐れして 無くなるのが残念です
可愛い ピンクの花に ナイス☆

Yasuko  
No title

オハヨウ ヾ(◕ˇoˇ◕ℒ)`*:;,。・★デシ

カルミヤ?ドンベアチリアケア?に似てるのですが
違っていたらごめんなさいm(_ _)m
今日もお天気がややっこしいお天気ですね。

ナイス!☆彡

樹☆  
No title

おはようございます
梨の花に似てると思いましたが早いですよね・・
カルミア?金平糖のつぼみでは・・ないような。。笑

可愛いお花・・こんなに咲き誇って。。
笑顔になっちゃいます。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
白のドンベアのように思えますが良く分かりません
ドンベアなら小さな花が沢山集まってぶら下がるように咲きますね

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title


写真の花はドンベア・チリアケアという花で、
アオギリ科で、原産地は東部アフリカ,マダガスカルです。
花の文化園の大温室で見ました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
上に書きましたように、ドンベアという花です。
紫陽花のように沢山の花が集まっているのが見事です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
ドンベアというアフリカ原産の花です。
沢山の花が球状に集まっていて見事でした。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
何種類かの解法が考えられる問題でした。
いろんな工夫ができて、当然ですが、同じ答がでるのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
[解答2]を最初に思いつくのは、経験があるということですね。
貴殿のように多くの問題を見られていると当然かと思います。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
上に書きましたようにドンベアという植物です。
沢山の花が集まって高いところに咲いていました。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ドンベア・チリアケア、大正解です。
流石に花の文化園で見られる花は詳しいですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
上に書きましたように、ドンベアというアフリカ原産の花です。
沢山の花が密集していて見ごたえがあります。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
ドンベアをよくご存知ですね。
仰るとおり、小さな花が集まってぶら下がるように咲いていて、
上からの光が逆光になってしまいました。