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[答704] 条件を満たす自然数の組

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答704] 条件を満たす自然数の組


 |a-b|=|b-c| を満たす 22以下の自然数の組(a,b,c)は何通り?


[解答]

 (a-b)2-(b-c)2=0 、(a-c)(a-2b+c)=0 だから、

 a=c または b=(a+c)/2 になります。

 ( 式で求めましたが、|a-b|,|b-c| が数直線で aとb,bとc の距離であるので、

  aとc が一致するか、a,b,c が等間隔に並ぶ場合であることが分かります )

 a=c のとき、(a,b,a)は 222=484 通りで、

 a≠c のとき、b=(a+c)/2 より a,c は奇数どうしまたは偶数どうしであればよいので、

 112112=11・10・2=220 通りあります。

 従って、484+220=704 通りです。


[参考]

 a,b,c が n 以下の自然数の場合、

 n が奇数のとき、

  n2(n+1)/22(n-1)/22=n2+{(n+1)/2}{(n-1)/2}+{(n-1)/2}{(n-3)/2}

  =n2+{(n-1)/2}{(n+1)/2+(n-3)/2}=n2+(n-1)2/2

 n が偶数のとき、

  n2n/22n/22=n2+2(n/2)(n/2-1)=n2+n(n-2)/2=n2+[(n-1)2/2]

 いずれの場合も、

 n2+[(n-1)2/2]=[2n2+(n-1)2/2]=[(3n2-2n+1)/2] です。

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Comments 14

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます
桜の花が見事ですネ
桜にもいろんな種類があって名前が判りませんが
花弁も大きく河津桜のようにも見えますね

早朝から綺麗な桜の花が見れて元気に一日のスタートが出来そうです

ナイス☆彡

ニリンソウ  
No title

きょうは桃の節句、 桃色のサクラですね。
早咲きのさくらから徐々にソメイヨシノへ
楽しみですね。

ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
春を感じます♪かわいい色ですね(o^-^o)

Yasuko  
No title

♪♡○o。ォハ(ღˇ◡ˇ)人(ˇ◡ˇღ)ョォo○♡♪

今日の、桃の節句にピッタリのお花
春を感じます(゜ー゜*)ネッ!

ナイス!☆彡

ゆうこ つれづれ日記  
No title

ピンクの色が可愛い桜ですね。
私は蕾も好きです。
これからどんな風に咲いてくれるかな~~
蕾にはそんな夢が見えます。
ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
スマートな解法ね☆
わたしゃ…結構悩んじゃいましたぁ…^^;…
勉強になりました Orz~♪

樹☆  
No title

こんばんは
かわいいさくら色です。。
つぼみがまだかな・・とソワソワしてる。
希望がいっぱいなつぼみです^^ナイス

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
仰る通り、河津桜です。
其方では早咲きの桜が沢山咲いていると思いますが、此方はチラホラです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
此方でもやっと桜が咲き始めました。
ソメイヨシノ満開までもう1ヶ月ほどです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難うございます。
桜を見るとやはり春を感じます。
貴女はこれから五条川が楽しみですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
今日は桃の節句ですが、私はまだ今年になって桃の花を見ていません。
一足早く咲いた河津桜を大仙公園で見ました。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
蕾も色づいてくると希望や夢を感じますね。
北海道はまだまだだと思いますが、
此方の桜の季節が終わってからブログで見せて頂きます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
この問題は数直線を背景にすると解釈が簡単なので、
スッキリ解きたい問題でした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
花が咲きかけたばかりですので、蕾も沢山ありました。
希望が見えますね。蕾には。