[答704] 条件を満たす自然数の組

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[答704] 条件を満たす自然数の組


　|a－b|＝|b－c| を満たす 22以下の自然数の組(a，b，c)は何通り？


[解答]

　(a－b)²－(b－c)²＝0 、(a－c)(a－2b＋c)＝0 だから、

　a＝c または b＝(a＋c)/2 になります。

　( 式で求めましたが、|a－b|，|b－c| が数直線で aとb，bとc の距離であるので、

　　aとc が一致するか、a，b，c が等間隔に並ぶ場合であることが分かります )

　a＝c のとき、(a，b，a)は 22²＝484 通りで、

　a≠c のとき、b＝(a＋c)/2 より a，c は奇数どうしまたは偶数どうしであればよいので、

　₁₁Ｐ₂＋₁₁Ｐ₂＝11･10･2＝220 通りあります。

　従って、484＋220＝704 通りです。


[参考]

　a，b，c が n 以下の自然数の場合、

　n が奇数のとき、

　 n²＋_(n+1)/2Ｐ₂＋_(n-1)/2Ｐ₂＝n²＋{(n＋1)/2}{(n－1)/2}＋{(n－1)/2}{(n－3)/2}

　 ＝n²＋{(n－1)/2}{(n＋1)/2＋(n－3)/2}＝n²＋(n－1)²/2

　n が偶数のとき、

　 n²＋_n/2Ｐ₂＋_n/2Ｐ₂＝n²＋2(n/2)(n/2－1)＝n²＋n(n－2)/2＝n²＋[(n－1)²/2]

　いずれの場合も、

　n²＋[(n－1)²/2]＝[2n²＋(n－1)²/2]＝[(3n²－2n＋1)/2] です。

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