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[答709] 半円の中の線分の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ



[答709] 半円の中の線分の長さ


 図のように ABを直径とする半円の中に、弧上の点S と 直径AB上の点T で接する円があり、

 その中心をC とします。また、TCの延長とBSの交点をP とします。

 AB=35,AS:SB=2:7 のとき PT=?


[解答1]

 ABの中点をO,∠ABS=θ とすれば、∠SOA=2θ になります。

 tanθ=t のとき sin2θ=2t/(1+t2),cos2θ=(1-t2)/(1+t2) です。

 OB=OS=OC+CS=OC+CT=OC+OC・sin2θ=(1+sin2θ)・OC 、OC=OB/(1+sin2θ) 、

 OT=OC・cos2θ=OB・(cos2θ)/(1+sin2θ) 、BT=OB+OT=OB・{1+(cos2θ)/(1+sin2θ)} 、

 ここで、(cos2θ)/(1+sin2θ)={(1-t2)/(1+t2)}/{(1+t)2/(1+t2)}=(1-t)/(1+t) 、

 1+(cos2θ)/(1+sin2θ)=1+(1-t)/(1+t)=2/(1+t) だから、

 BT=OB・2/(1+t)=AB/(1+t) 、PT=BT・tanθ=AB・t/(1+t) になります。

 本問では、AB=35,tanθ=AS/SB=2/7 だから、

 PT=BT・tanθ=35・(2/7)/(1+2/7)=35・2/9=70/9 です。


[解答2]

 ABの中点をOとします。

 ∠ATP+∠ASP=90゚+90゚=180゚ だから、四角形ATPSは円に内接します。

 OS=OB,CS=CT を考慮して、

 ∠BST=∠BSO+∠OST=∠COT/2+∠OCT/2=(∠COT+∠OCT)/2=90゚/2=∠ASB/2 だから、

 ST は ∠ASB の二等分線になります。

 よって、弧PT=弧AT、従って PT=AT です。

 また、AT:TB=AS:SB=2:7 なので、

 AT=AB・(2/9)=35・(2/9)=70/9 、PT=AT=70/9 になります。

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Comments 13

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スモークマン  
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グーテンモルゲン ^^
[解法2]は鮮やかな算数?解法ですね☆
△ATPが直角三角形とは !! 面白いですね♪
わたしゃ...内接する半径を求めたりと遠回りをしてましたぁ…^^;

アキチャン  
No title

おはようございます。
今、放送大学科目「初歩からの数学」のテレビ授業をネットから見て復習しています。それに放送大学生のためのメディアル数学というのもやってみています。そしてやどかりさんのもんだいの意味がだんだん分かって、この問題も少し考えていました。やっと解答の説明も分かるようになってきました(o^-^o)
やどかりさんの問題を解けることを目標にしているのですが・・・

ニリンソウ  
No title

今日は黄色い花ですね!
ホントに色と言い、花びらといい多様なクリスマスローズですね。
今年はどんな花を買おうかと思案してしまいます。

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」確かに、鮮やかですね!
多少の知識と技術を要するただの計算問題と思っていましたが、問題にロマンがあり、その主張が聞こえてきそうです。

自分は「解答1」もどきでした。

tsuyoshik1942  
No title

ここ何枚かのクリスマスローズ、私自身はトンと無頓着ですが、妻が楽しんでいます。
数年前から興味を持ち、今年は自分で採種し種を蒔いた株が花をつけたようです。
他の写真にも、時々声をかけてます。

樹☆  
No title

おはようございます。こういう色合い好きです。今日は携帯からだからNiceできないから予約しておきます。(^w^)
後で~

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
今日は黄色のクリスマスローズですネ!!
此の色も余り見かけませんね
蕊まで綺麗に見えて素晴らしいですね♪
ナイス♪

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
STが∠ASBの二等分線で、△ATPが直角二等辺三角形と分かれば簡単ですね。
遠回りもまた楽しからずや。いつも楽しんで下さって有難いです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
問題番号に合わせて問題作りをしていますので、
出題分野も難易度もまちまち、解きにくいかもしれませんが、
気に入った図があれば解いてみてくださいね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
買っても世話する自信がないので私は気に入ったのを撮るだけですが、
「今年はどんな花を買おうかと思案」するのも楽しそうですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、2度にわたるコメントを有難うございます。
座標を使えば確実に解ける問題ですが、座標を使わず、できれば三角比も使わず、
と考えて、上手く解ければ嬉しいですね。

私のブログをご夫婦で楽しんで頂いていることを知り、この上ない喜びです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
昨日の色は珍しさが好きですが、私もこのような淡い色が好きです。
私は見にくいので、携帯でブログを見ることがなくなりました。
忘れずにあとでナイスをいただき、恐縮です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難うございます。
クリスマスローズは種類が多くて、どれをよく見るのか私にはよく分かりませんが、
蘂の色と花弁の色が似ているのがシックリきます。