[答709] 半円の中の線分の長さ

[答709] 半円の中の線分の長さ


　図のように ABを直径とする半円の中に、弧上の点S と 直径AB上の点T で接する円があり、

　その中心をC とします。また、TCの延長とBSの交点をP とします。

　AB＝35，AS：SB＝2：7 のとき PT＝？


[解答1]

　ABの中点をO，∠ABS＝θ とすれば、∠SOA＝2θ になります。

　tanθ＝t のとき sin2θ＝2t/(1＋t²)，cos2θ＝(1－t²)/(1＋t²) です。

　OB＝OS＝OC＋CS＝OC＋CT＝OC＋OC･sin2θ＝(1＋sin2θ)･OC 、OC＝OB/(1＋sin2θ) 、

　OT＝OC･cos2θ＝OB･(cos2θ)/(1＋sin2θ) 、BT＝OB＋OT＝OB･{1＋(cos2θ)/(1＋sin2θ)} 、

　ここで、(cos2θ)/(1＋sin2θ)＝{(1－t²)/(1＋t²)}/{(1＋t)²/(1＋t²)}＝(1－t)/(1＋t) 、

　1＋(cos2θ)/(1＋sin2θ)＝1＋(1－t)/(1＋t)＝2/(1＋t) だから、

　BT＝OB･2/(1＋t)＝AB/(1＋t) 、PT＝BT･tanθ＝AB･t/(1＋t) になります。

　本問では、AB＝35，tanθ＝AS/SB＝2/7 だから、

　PT＝BT･tanθ＝35･(2/7)/(1＋2/7)＝35･2/9＝70/9 です。


[解答2]

　ABの中点をOとします。

　∠ATP＋∠ASP＝90ﾟ＋90ﾟ＝180ﾟ だから、四角形ATPSは円に内接します。

　OS＝OB，CS＝CT を考慮して、

　∠BST＝∠BSO＋∠OST＝∠COT/2＋∠OCT/2＝(∠COT＋∠OCT)/2＝90ﾟ/2＝∠ASB/2 だから、

　ST は ∠ASB の二等分線になります。

　よって、弧PT＝弧AT、従って PT＝AT です。

　また、AT：TB＝AS：SB＝2：7 なので、

　AT＝AB･(2/9)＝35･(2/9)＝70/9 、PT＝AT＝70/9 になります。

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