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[答67] 3本の垂線でできる三角形

ヤドカリ

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[答67] 3本の垂線でできる三角形


 3つの辺が 12, 21, x の三角形があり、頂点から対辺に垂線を下ろし、

 3本の垂線の長さを3辺とする三角形を作ります。

 ( x=22.5 として描くと、上の図のようになりました )


 このようにしてできた三角形がもとの三角形と相似になるときのxの値は?



[解答]

 もとの三角形の辺の長さを a, b, c (a≦b≦c)、面積を S とすると、

 a:b:c=2S/c:2S/b:2S/a=1/c:1/b:1/a=a:ac/b:c。

 よって、b=ac/b、すなわち、ac=b2

 x≦12 のとき、21x=122 より x=48/7<21-12 (不適)

 x≧21 のとき、12x=212 より x=147/4>21+12 (不適)

 12<x<21 のとき、x2=12・21 より x=6√7、21-12<x<21+12 です。

 答は、x=6√7。


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