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[答710] 文字式の計算

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答710] 文字式の計算


 Pn=(b-c)n+(c-a)n+(a-b)n とするとき、P7/(P2・P5)=?


[解答]

 (c-a)(a-b)+(a-b)(b-c)+(b-c)(c-a)=-q ,(b-c)(c-a)(a-b)=r とします。

 (b-c)+(c-a)+(a-b)=0 だから、x=b-c,c-a,a-b を解とする方程式として、

 x3-qx-r=0 が考えられ、xn+3=qxn+1+rxn の解で、

 (b-c)n+3=q(b-c)n+1+r(b-c)n ,(c-a)n+3=q(c-a)n+1+r(c-a)n ,(a-b)n+3=q(a-b)n+1+r(a-b)n

 よって、Pn+3=q・Pn+1+r・Pn になります。

 P1=0 、P2={(b-c)+(c-a)+(a-b)}2-2{(c-a)(a-b)+(a-b)(b-c)+(b-c)(c-a)}=2q 、

 P3=3(b-c)(c-a)(a-b)=3r だから、

 P4=q・P2+r・P1=2q2

 P5=q・P3+r・P2=3qr+2qr=5qr 、

 P7=q・P5+r・P4=5q2r+2q2r=7q2r 、

 従って、P7/(P2・P5)=7q2r/(2q・5qr)=7/10 です。


☆ q=P2/2={(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2}/2=a2+b2+c2-bc-ca-ab だから、

 P4 ,P5 ,P7 は次のように因数分解できます。

 (b-c)4+(c-a)4+(a-b)4=2(a2+b2+c2-bc-ca-ab)2

 (b-c)5+(c-a)5+(a-b)5=5(a2+b2+c2-bc-ca-ab)(b-c)(c-a)(a-b)

 (b-c)7+(c-a)7+(a-b)7=7(a2+b2+c2-bc-ca-ab)2(b-c)(c-a)(a-b)

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Comments 14

There are no comments yet.
ひとりしずか  
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まぁ~魅入ってしまう美しさ!
ナイス☆

樹☆  
No title

おはようございます
バラみたいで・・なんて豪華な椿なんでしょう
すてきな色にうっとり、優しい気持ちで
一周間過ごせそうです。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
此れは山茶花でしょうか
ピンクの色がとても可愛くて綺麗ですネ
綺麗な画像に今日も一日頑張れます
ありがとう
ナイス☆彡

ニリンソウ  
No title

山茶花か椿か迷いますね(多分さざんか)
今日は久し振りの晴天、 春が一気に加速しますように
20日からまた気温が下がりそう
今年の春は遅いです。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
気付くまで時間かかりましたが面白い問題でしたぁ♪
(p2/p3)(p5/p4)(p6/p7)・・・なんて求められるんでしょうか知らん…^^;...

tsuyoshik1942  
No title

解答、読ませていただきました。今は理解できたような気がしますが、次の時、同じ構図が描けるか不安です。

自分は解けませんでしたが、脚注の「P5,P7の因数分解の結果」を、答が(7/10)になることから逆に推定し、それの正当性を確認しました。

アキチャン  
No title

こんにちわ。
かわいいピンク色ですね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
私も見入ってしまいました。こんな椿を見たのは初めてです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ゴージャスな椿でした。
こんなに花弁の多い椿は初めてです。
それに優しい色で気に入りました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
山茶花と椿の区別は難しいですね。
今年は椿を撮る機会がないと思っていたら、今になって機会が訪れました。
期待していなかったのですが、椿展でこんな素晴らしい花に出会えました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
大泉緑地という公園に行くと椿展をしていて、
この時期ですので期待はしていなかったのですが、
花瓶に椿が生けてあって、この花だけが鉢植えでした。
こんなに素晴らしい椿に出会えるとは思っていませんでした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
漸化式から順番Pnを求めていけば、
うまくq,rが約分できるような式ができると思います。
そうして作った問題です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
P7 くらいになるとまともに計算するのは大変ですね。
確認の計算もさぞ面倒だったことでしょう。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難うございます。
ピンク色が可愛いはなでした。
花びらはたくさんあって、ゴージャスに見えました。