[答712] 五角形の対角線の長さ

[答712] 五角形の対角線の長さ


　AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝1，∠ABC＝∠AED＝90ﾟ である 凸五角形ABCDEの 対角線BEの長さは？


[解答1]

　AC＝AD＝√2 だから、△ACDのCDを底辺とするときの高さを h とすれば、

　h²＝(√2)²－(1/2)²＝7/4 、h＝(√7)/2 になります。

　2△ACD＝(√2)(√2)sin∠CAD＝1･(√7)/2 だから、sin∠CAD＝(√7)/4 です。

　△ABE において余弦定理より、

　BE²＝1²＋1²－2･1･1･cos∠BAE＝2－2cos(∠CAD＋90ﾟ)＝2＋2sin∠CAD＝2＋(√7)/2 、

　BE＝√{2＋(√7)/2}＝{√(8＋2√7)}/2＝(√7＋1)/2 になります。


[解答2]

　AからBEにおろした垂線の足をG，CからBEにおろした垂線の足をH とすれば、HG＝CD/2＝1/2 です。

　また、２つの直角三角形 △ABG≡△BCH で、これを 180ﾟ 回転し、AとCを重ねると、

　内側に面積が (1/2)²＝1/4 の正方形ができ、4△ABG＝1－1/4＝3/4 です。

　外側に △ABGと合同な三角形４個を描いて正方形を作れば、その面積は 1＋3/4＝7/4 ですので、

　この正方形の１辺は (√7)/2 です。

　BG＋AG＝(√7)/2 ，BG－AG＝1/2 となって、BE＝2BG＝(√7＋1)/2 です。


[解答3]

　BCの延長とEDの延長の交点をP，CDの中点をM，PC＝PD＝x とします。

　△ABP∽△DMP だから、AB：DM＝AP：DP 、1：1/2＝AP：x 、AP＝2x です。

　△ABPで三平方の定理より、1＋(1＋x)²＝(2x)² 、2＋2x＝3x² 、

　4＋4x＋x²＝7x² 、(2＋x)²＝7x² 、2＋x＝x√7 、1/x＝(√7－1)/2 です。

　次に、四角形ABPEは円に内接するから、トレミーの定理により、AP･BE＝AB･EP＋AE･BP 、

　2x･BE＝2(1＋x) 、BE＝1/x＋1＝(√7－1)/2＋1＝(√7＋1)/2 になります。


[解答4]

　AC＝AD＝√2 だから、△ACDのCDを底辺とするときの高さを h とすれば、

　h²＝(√2)²－(1/2)²＝7/4 、h＝(√7)/2 、△ACD＝(√7)/4 です。

　また、△ABC＋△ADE＝1 だから、五角形ABCDE＝1＋(√7)/4 です。

　右下図のように、BEを１辺とする正方形の面積は 五角形ABCDEの２倍で、

　BE²＝2{1＋(√7)/4}＝(8＋2√7)/4＝(√7＋1)²/4 、BE＝(√7＋1)/2 になります。

☆ 左下図のように、この五角形を重ねることなく使って平面を隙間なく埋めることが出来ます。

.