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[答712] 五角形の対角線の長さ

ヤドカリ

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[答712] 五角形の対角線の長さ


 AB=BC=CD=DE=EA=1,∠ABC=∠AED=90゚ である 凸五角形ABCDEの 対角線BEの長さは?


[解答1]

 AC=AD=√2 だから、△ACDのCDを底辺とするときの高さを h とすれば、

 h2=(√2)2-(1/2)2=7/4 、h=(√7)/2 になります。

 2△ACD=(√2)(√2)sin∠CAD=1・(√7)/2 だから、sin∠CAD=(√7)/4 です。

 △ABE において余弦定理より、

 BE2=12+12-2・1・1・cos∠BAE=2-2cos(∠CAD+90゚)=2+2sin∠CAD=2+(√7)/2 、

 BE=√{2+(√7)/2}={√(8+2√7)}/2=(√7+1)/2 になります。


[解答2]

 AからBEにおろした垂線の足をG,CからBEにおろした垂線の足をH とすれば、HG=CD/2=1/2 です。

 また、2つの直角三角形 △ABG≡△BCH で、これを 180゚ 回転し、AとCを重ねると、

 内側に面積が (1/2)2=1/4 の正方形ができ、4△ABG=1-1/4=3/4 です。

 外側に △ABGと合同な三角形4個を描いて正方形を作れば、その面積は 1+3/4=7/4 ですので、

 この正方形の1辺は (√7)/2 です。

 BG+AG=(√7)/2 ,BG-AG=1/2 となって、BE=2BG=(√7+1)/2 です。


[解答3]

 BCの延長とEDの延長の交点をP,CDの中点をM,PC=PD=x とします。

 △ABP∽△DMP だから、AB:DM=AP:DP 、1:1/2=AP:x 、AP=2x です。

 △ABPで三平方の定理より、1+(1+x)2=(2x)2 、2+2x=3x2

 4+4x+x2=7x2 、(2+x)2=7x2 、2+x=x√7 、1/x=(√7-1)/2 です。

 次に、四角形ABPEは円に内接するから、トレミーの定理により、AP・BE=AB・EP+AE・BP 、

 2x・BE=2(1+x) 、BE=1/x+1=(√7-1)/2+1=(√7+1)/2 になります。


[解答4]

 AC=AD=√2 だから、△ACDのCDを底辺とするときの高さを h とすれば、

 h2=(√2)2-(1/2)2=7/4 、h=(√7)/2 、△ACD=(√7)/4 です。

 また、△ABC+△ADE=1 だから、五角形ABCDE=1+(√7)/4 です。

 右下図のように、BEを1辺とする正方形の面積は 五角形ABCDEの2倍で、

 BE2=2{1+(√7)/4}=(8+2√7)/4=(√7+1)2/4 、BE=(√7+1)/2 になります。

☆ 左下図のように、この五角形を重ねることなく使って平面を隙間なく埋めることが出来ます。

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Comments 19

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さっちゃんこ  
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おはようございます
真っ白の可愛い花ですネ
此方では余り見かけない花です
ナイス☆彡

tsuyoshik1942  
No title

いろいろな解き方がありますね!
リコメ拝見後、「解答2、ないし4」のような図形の転換や貼りあわせを考えたのですが、上手くいきませんでした。
タイルの敷き詰めきれいですね!これには、気づきたかったです。た。

ひとりしずか  
No title

セリバオウレンでしょうか?
今頃中尊寺境内で見つけたときはこころ踊る思いが・・・
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

綺麗だね~
そちらはセリバなんですね、花は同じようですが
こちらの山はキクバがどっさりです。

たけちゃん  
No title

はじめは「凸五角形」とは書かれていなかったので,
∠Bの内角が270°である場合も考察しました.
この場合は容易で,△ABE∽△ACD,相似比1:√2より,BE=1/√2となります.
(「凸五角形」と書いていなくても,これを考えるべきかどうかは微妙ですが.)

これを元に,後で再考したものを提示しておきます.
Pと名付けた点が,上の場合のBになります.

正方形ABCPを作る.BP=√2.
△APEは,△ACDを45°回転し,1/√2倍にしたものだから,
PE=1/√2であり,PEとCDのなす角は45°,すなわち,∠PEB=45°.
BE=xとして,三角形EBPに余弦定理を用いて,
(√2)^2=x^2+(1/√2)^2-2x(1/√2)cos45°.
変形して,x^2-x-3/2=0を得て,x>0に注意して,x=(1+√7)/2.

uch*n*an  
No title

これはいろいろと考えられる楽しい問題でした。
私の解法は四つ。
(解法1)は[解答1]と似たような感じの三角関数による解法。
(解法2)は出だしは[解答2]ですが[解答3]のように2次方程式を使う解法。
(解法3)は[解答4]と同じ解法。
(解法4)は[解答2]とは違いますが
三角関数も2次方程式も使わない技巧的な初等幾何での解法。
[解答3]のようにトレミーの定理を使う解法も思い付きましたがまとめませんでした。
それ以外にも各種のバリエーションがありますね。
☆は(解法3)を思い付いた時点で気付いていました。
[解答2]は少し技巧的ですが発想が算数ぽくって面白いです。お気に入り (^^;

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
この花はセリバオウレンです。
この花が咲くといろんな野の花が咲き出します。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
タイルの敷き詰めを見て、問題にできないかと思ってできた問題です。
気づきたい気持ちがよく分かります。
2つの直角以外の内角の和を考えれば気づけたかも知れません。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
中尊寺の携帯にも咲いているのですか。
風情があっていいでしょうね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
ニリンソウさんのブログでキクバオウレンを見て、早速、見に行きました。
咲き出すと沢山の花が咲きますね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
[解答1]では、cos∠CAD から sin∠CAD を求めてもいいのですが、
わざと面積で sin∠CAD を求めてみました。
[解答2]の図の一部は三平方の定理の証明に使われますので、
三平方の定理も使わないでできるのが気に入っています。

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
わたしゃ…[解答2]でしたが...いっぱいの解法があるものねぇ☆
タイルの敷き詰め…まさに亀の甲羅の模様がこれだったりして…?
調べたら…5角形と6角形の組み合わせになってるよう...サッカーボールみたいに曲面だからかな…^^;…Orz~

たけちゃん  
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BC//ADにはならないのではないでしょうか.
私の記号で言えば,Pは直線AD上にはなく,AP//BCです.
要は,∠ABC+∠BAD=90°+45°+∠CAD<180°ですね.

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
貴殿は確か[解答3]だったような気がします。
このブログに毒されてトレミーをよく使っている記憶があります。

ヤドカリ  
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たけちゃんさん、再度のコメントを有難うございます。
仰るように、明らかに、BC//AD にはなりません。
別の問題を考えていて混同してしまい、失礼しました。
先程のは見苦しいですので作治させていただきます。
貴殿の考え方は△ADEをAを中心に回転して ACとADを重ねるという意味でした。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
すいません~…^^;
[解答3]の間違いでしたぁ Orz~
トレミーは...
貴殿のブログに【感化】されて使えるようになれましたのよぉ~♪

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、再度のコメントを有難うございました。

樹☆  
No title

問題の意味もわからないのに
答えの形が美しいな・・と思いました。
可愛いお花・・ふわふわと雪の精みたいです。ナイス

ヤドカリ  
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樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
セリバオウレンの花です。
これが咲くといよいよ本格的な春です。
答がもっと簡単になるといいのですが……。