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[答713] 三角形の面積の3等分

ヤドカリ

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[答713] 三角形の面積の3等分


 図のように △ABCの内部に点Pをとり、PA,PB,PC で △ABCの面積を3等分しました。

 PA:PB:PC=17:13:7 のとき、BC:CA:AB=?


[解答]

 Pは明らかに△ABCの重心です。中線を AK,BL,CM とすれば、PK=PA/2,PL=PB/2,PM=PC/2 です。

 中線定理より、2(PK2+BK2)=PB2+PC2 、4PK2+4BK2=2PB2+2PC2

 PA2+BC2=2PB2+2PC2 、BC2=2PB2+2PC2-PA2

 同様に、CA2=2PC2+2PA2-PB2 ,AB2=2PA2+2PB2-PC2 です。

 よって、

 BC2:CA2:AB2=(2PB2+2PC2-PA2):(2PC2+2PA2-PB2):(2PA2+2PB2-PC2)

  =(2・132+2・72-172):(2・72+2・172-132):(2・172+2・132-72)=147:507:867=49:169:289 になり、

 BC:CA:AB=7:13:17 です。


[参考]

 結果的に BC:CA:AB=PC:PB:PA になりましたが、この関係を満たす△ABCについて考察します。

 中線定理より、2(AK2+BK2)=AB2+AC2 、4AK2+4BK2=2AB2+2AC2 、4AK2=2AB2+2AC2-BC2

 同様に、4BL2=2BC2+2BA2-CA2 ,4CM2=2CA2+2CB2-AB2

 kBC=PC,kCA=PB,kAB=PA とおけば、

 AK=3PA/2=3kAB/2,BL=3PB/2=3kCA/2,CM=3PC/2=3kBC/2 だから、

 9k2AB2=2AB2+2AC2-BC2 ,9k2CA2=2BC2+2BA2-CA2 ,9k2BC2=2CA2+2CB2-AB2

 辺々加えて、9k2(BC2+CA2+AB2)=3(BC2+CA2+AB2) 、k2=1/3 です。

 これを代入すれば、どの式も 2CA2=AB2+BC2 になります。

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Comments 12

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ひとりしずか  
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シベの赤がインパクトありますね~
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
トサミズキのシベはよく目立ちます。
黄色の花に赤い蘂、色が対照的です。

樹☆  
No title

おはようございます。
土佐の高知の~♪
開花するとたわわなお花がきれいでしょうね。
準絶滅危惧とされる花・・まだ実物見たことは
ありません。ありがとう^^ナイスです

tsuyoshik1942  
No title

中線定理に気づくのに、少し時間がかかりました。

問題の質そのものも「良」ですが、問題番号が「713」、問題が「17:13:7」、答が「7:13:17」、この三者の絶妙な取り合わせに感嘆しました。
ただ、感嘆していただけで、「参考」の事項への踏み込みを怠りました。

たけちゃん  
No title

出てきた答が,与えられた比の順序替えとなったので,
「一般的なことがらなのか,そうでないなら条件はどうなるか」は
自然な疑問であり,私も考察していました.
結局,与えられた比の2乗が等差数列をなすことが条件ですね.
例えば,直角三角形で条件を満たすものは,
3辺の比が1:√2:√3であるものだけです.

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
情けないことに...面積を3等分する点が重心であることに気付けず…^^;;
計算式を並べて溜息をついてました…Orz…
中点と与えられた線分の1/3から、余弦定理でも求められますね ^^

アキチャン  
No title

こんにちわ。
このお花は撮ったことがありません。
赤い色がとても目立って綺麗ですね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
俯き加減に咲くので少々撮りにくい花ではありますが、その分、青空が背景になりました。
これも春の訪れを告げてくれる花です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントと賛辞を有難うございます。
できれば[参考]まで考えて頂ければ面白かったと思います。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、早速のコメントを有難うございます。
「一般的なことがら」でないことは、例えば直角二等辺三角形を考えれば、
等辺より底辺は短いですが、2本の等しい中線はもう1本の中線より長いので、
比の順序替えにはなりませんね。
もとの三角形と中線の長さを辺にもつ三角形が相似になる場合を考えていて問題が出来ました。
私は直角三角形の場合はどうなるかは考えておらず、
主に整数比の3辺をもつ三角形について考えていました。
このような目の付け方もあるのだと、感心させられました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
余弦定理も使えますが、中線の場合は中線定理が楽ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難うございます。
赤い蘂がよく目立つ花です。
貴女もこの花にも出会えるといいですね。