[答714] 数列の無限和
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[答714] 数列の無限和
全ての項が自然数の等比数列{ an }と等差数列{ bn }があり、 a1=b1 ,a2=b2 とします。
Σan/100n=S ,Σbn/100n=T として、 0<T<S<1 ,1/T-1/S=1/700 が成り立つとき、
a1=? また、 a2=?
ただし、Σは n=1,2,3,…… とするときの無限和を表すものとします。
[解答]
{ an }の公比を r,a1=b1=a とします。
a2=b2=ar だから、{ bn }の公差は ar-a=a(r-1) です。
また、{ an }のすべての項が自然数だから、r も自然数です。
まず、S は 初項が a/100,公比が r/100 の無限等比級数の和だから、r/100<1 、r<100 で、
S=(a/100)/{1-(r/100)}=a/(100-r) です。
また、S<1 より、a/(100-r)<1 、a<100-r です。
次に、100T=b1+Σbn+1/100n=a+Σbn+1/100n だから、
100T-T=a+Σa(r-1)/100n 、99T=a+{a(r-1)/100}/(1-1/100)=a+a(r-1)/99 、
T=a/99+a(r-1)/9801=a(r+98)/9801 です。
1/T-1/S=9801/{a(r+98)}-(100-r)/a={9801+(r-100)(r+98)}/{a(r+98)}=(r-1)2/{a(r+98)} で、
1/T-1/S=1/700 だから、700(r-1)2={a(r+98)} 、a=700(r-1)2/(r+98) です。
a<100-r だから、700(r-1)2/(r+98)<100-r 、700(r-1)2<(100-r)(r+98) 、
700(r-1)2<-(r-1)2+9801 、(r-1)2<9801/701<16 、r-1<4 、r<5 となります。
r=1,2,3,4 のうち、 a=700(r-1)2/(r+98) が自然数になるのは、r=2 のときだけで、
このとき、 a1=a=7 ,a2=ar=14 です。
☆ S=7/(100-2)=1/14=0.07142857142857142857142857……
T=7(2+98)/9801=700/9801=0.07142128354249466370778491…… です。
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