[答714] 数列の無限和

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[答714] 数列の無限和


　全ての項が自然数の等比数列{ a_n }と等差数列{ b_n }があり、 a₁＝b₁ ，a₂＝b₂ とします。

　Σa_n/100ⁿ＝S ，Σb_n/100ⁿ＝T として、 0＜T＜S＜1 ，1/T－1/S＝1/700 が成り立つとき、

　a₁＝？ また、 a₂＝？

　ただし、Σは n＝1，2，3，…… とするときの無限和を表すものとします。


[解答]

　{ a_n }の公比を r，a₁＝b₁＝a とします。

　a₂＝b₂＝ar だから、{ b_n }の公差は ar－a＝a(r－1) です。

　また、{ a_n }のすべての項が自然数だから、r も自然数です。

　まず、S は 初項が a/100，公比が r/100 の無限等比級数の和だから、r/100＜1 、r＜100 で、

　S＝(a/100)/{1－(r/100)}＝a/(100－r) です。

　また、S＜1 より、a/(100－r)＜1 、a＜100－r です。

　次に、100T＝b₁＋Σb_n+1/100ⁿ＝a＋Σb_n+1/100ⁿ だから、

　100T－T＝a＋Σa(r－1)/100ⁿ 、99T＝a＋{a(r－1)/100}/(1－1/100)＝a＋a(r－1)/99 、

　T＝a/99＋a(r－1)/9801＝a(r＋98)/9801 です。

　1/T－1/S＝9801/{a(r＋98)}－(100－r)/a＝{9801＋(r－100)(r＋98)}/{a(r＋98)}＝(r－1)²/{a(r＋98)} で、

　1/T－1/S＝1/700 だから、700(r－1)²＝{a(r＋98)} 、a＝700(r－1)²/(r＋98) です。

　a＜100－r だから、700(r－1)²/(r＋98)＜100－r 、700(r－1)²＜(100－r)(r＋98) 、

　700(r－1)²＜－(r－1)²＋9801 、(r－1)²＜9801/701＜16 、r－1＜4 、r＜5 となります。

　r＝1，2，3，4 のうち、 a＝700(r－1)²/(r＋98) が自然数になるのは、r＝2 のときだけで、

　このとき、 a₁＝a＝7 ，a₂＝ar＝14 です。


☆ S＝7/(100－2)＝1/14＝0．07142857142857142857142857……

　　T＝7(2＋98)/9801＝700/9801＝0．07142128354249466370778491…… です。

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