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[答714] 数列の無限和

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答714] 数列の無限和


 全ての項が自然数の等比数列{ an }と等差数列{ bn }があり、 a1=b1 ,a2=b2 とします。

 Σan/100n=S ,Σbn/100n=T として、 0<T<S<1 ,1/T-1/S=1/700 が成り立つとき、

 a1=? また、 a2=?

 ただし、Σは n=1,2,3,…… とするときの無限和を表すものとします。


[解答]

 { an }の公比を r,a1=b1=a とします。

 a2=b2=ar だから、{ bn }の公差は ar-a=a(r-1) です。

 また、{ an }のすべての項が自然数だから、r も自然数です。

 まず、S は 初項が a/100,公比が r/100 の無限等比級数の和だから、r/100<1 、r<100 で、

 S=(a/100)/{1-(r/100)}=a/(100-r) です。

 また、S<1 より、a/(100-r)<1 、a<100-r です。

 次に、100T=b1+Σbn+1/100n=a+Σbn+1/100n だから、

 100T-T=a+Σa(r-1)/100n 、99T=a+{a(r-1)/100}/(1-1/100)=a+a(r-1)/99 、

 T=a/99+a(r-1)/9801=a(r+98)/9801 です。

 1/T-1/S=9801/{a(r+98)}-(100-r)/a={9801+(r-100)(r+98)}/{a(r+98)}=(r-1)2/{a(r+98)} で、

 1/T-1/S=1/700 だから、700(r-1)2={a(r+98)} 、a=700(r-1)2/(r+98) です。

 a<100-r だから、700(r-1)2/(r+98)<100-r 、700(r-1)2<(100-r)(r+98) 、

 700(r-1)2<-(r-1)2+9801 、(r-1)2<9801/701<16 、r-1<4 、r<5 となります。

 r=1,2,3,4 のうち、 a=700(r-1)2/(r+98) が自然数になるのは、r=2 のときだけで、

 このとき、 a1=a=7 ,a2=ar=14 です。


☆ S=7/(100-2)=1/14=0.07142857142857142857142857……

  T=7(2+98)/9801=700/9801=0.07142128354249466370778491…… です。

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Comments 16

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ひとりしずか  
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ユキワリソウ?
シベがキレイ
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

雪割草ですね
ホントに可愛い花です、いい天気なんでしょう
ご機嫌のようですね。

ナイス

樹☆  
No title

おはようございます
雪をわけて咲いた花・・ユキワリソウ
なんて可憐で可愛いのでしょう。
好きなお花に出会うと思わずほころんでしまう。
ナイスです

tsuyoshik1942  
No title

Tの無限和の計算に手間取りました。
「7,14」の答を得、一息ついた後、1/Tと1/Sは1/700と非常に近い、それではTとSはどうかと確認しました。☆の0.0714..が出てきたときはビックリしました。
前問につづき「問題番号との絡み」が秀逸ですね!
ヤドカリさんのこだわり、思い入れを強く感じました。

こっこちゃん  
No title

おはようございます !(^^)!

雪割草 可愛いですね 帰阪して ヤット投稿の段階に
なりました 又よろしくお願いします

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
仰るとおり、雪割草です。
花弁の色より少し濃い色の蘂が花全体によくマッチしています。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
2週間くらい前に撮ったものですが、なかなかアップする機会がなかったのですが、
ニリンソウさんのブログに触発されて使いました。
雪割草の写真をボツにするのが偲びなくて。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
まだ殆ど緑のない地面に綺麗な色で咲いてくれる雪割草、
見る人を幸せにしてくれる花ですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントとお褒めの言葉を有難うございます。
実は[714]の番号を見て、有名な循環節 142857 の 714 の部分を使って
問題ができないかと試行錯誤してできた問題です。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントを有難うございます。
大阪の時間の流れ方はそちらと違って慌ただしいものだったかもしれません。
ゆっくりとご自分のペースでまた記事を投稿してくださいね。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
雪割草ですネ
紫の色がとても綺麗ですネ
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
雪割草には様々な色があるようですが、
スッキリした紫色が素敵です。
春の花には紫も多いですね。

アキチャン  
No title

こんばんわ。いい色ですね(o^-^o)
この色は初見です!

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難うございます。
綺麗な色の雪割草でした。心が和むような花でした。

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
面白い問題ったのに...まったくお手上げでした…^^;
やっとこさ理解できましたが...巧いものですね☆
こんなことを思いつけるのが羨ましい !! Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
試行錯誤しているうちに面白い問題を収穫することもあります。
問題に仕上がったとき、ちょっと得した気分でした。