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[答715] 余りともとの数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答715] 余りともとの数


 「 7で割った余りが P ,11で割った余りが Q ,13で割った余りが R である 1000以下の負でない整数は

 □・P+□・Q+□・R を 1001 で割った余りを計算すると求められます。」

 この文の3個の□に適する 1000以下の自然数は? (前の□から順に答えて下さい)


[解答]

 7で割った余りが決まるとその条件を満たす負でない整数を小さい順に並べると公差が 7 の等差数列になり、

 11,13 についても余りが決まると同様に公差が 11,13 の等差数列になるから、

 7,11,13 で割った余りが決まると、存在すれば公差は LCM(7,11,13)=1001 の等差数列になります。 

 従って、「1000以下の負でない整数」という条件がつくと、存在すれば一意に決まります。

 11,13 の公倍数で 7 で割った余りが 1 である 1000以下の自然数は 715 、

 7,13 の公倍数で 11 で割った余りが 1 である 1000以下の自然数は 364 、

 7,11 の公倍数で 13 で割った余りが 1 である 1000以下の自然数は 924 だから、

 N=715P+364Q+924R とすれば、

 N を 7で割った余りが P ,11で割った余りが Q ,13で割った余りが R となるので、

 これを 1001 で割った余りを求めれば、「1000以下の負でない整数」の条件にも合います。

 よって、□に適する数は前から順に 715 ,364 ,924 です。


[参考] 背景

 中国の算術書「孫子算経」(5世紀中頃)に、次の問題とその解答・解法が書かれています。

 今有物、不知其数。三・三数之、剰二。五・五数之、剰三。七・七数之、剰二。問物幾何?
 今、物が有るがその数はわからない。3個ずつ数えると2個余る。5個ずつ数えると3個余る。7個ずつ数えると2個余る。
  物はいくつあるか?


 答曰:二十三。 答:23。

 術曰:三・三数之、剰二、置一百四十。五・五数之、剰三、置六十三。七・七数之、剰二、置三十。
 解法:3個ずつ数えて2個余る数として 140と置く。5個ずつ数えて3個余る数として 63と置く。
  7個ずつ数えて2個余る数として 30と置く。


 并之、得二百三十三。以二百一十減之、即得。
 これらを足し合わせて 233を得る。これから 210を引いて答えを得る。

 凡、三・三数之、剰一、則置七十。五・五数之、剰一、則置二十一。七・七数之、剰一、則置十五。
 一般に、3個ずつ数え1個余る度に 70と置く。5個ずつ数え1個余る度に 21と置く。7個ずつ数え1個余る度に 15と置く。

 一百六以上、以一百五減之、即得。
 106以上ならば、105を引くことで、答えを得る。

 寛永4年(1627)吉田光由が著わした塵劫記の「第43 百五減という算」も同じ内容です。

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Comments 14

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ひとりしずか  
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見たことない色ですね
ナイス☆

樹☆  
No title

こんばんは
お日さまに向いて咲いたようですが・・
まるで可愛いお花自体がおひさまみたいです。
暖かくなりましたね。。ナイスです

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ヘラルドという品種のクロッカスです。
黄色と違って、落ち着いた感じのする色でした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ヘラルドという品種です。太陽の光を精一杯浴びて咲いていました。
今日ももっと暖かくなるそうで、嬉しいです。

ニリンソウ  
No title

新種クロッカス?
珍しい色ですね、蕾の時は茶色?
今日も暖かい思いっきり日t¥楽でしょうね

ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
ほんと、珍しい色♪(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
105減算をこのように応用されたのはわたしゃ初見です☆
互いに素な2数のときは、たとえば3,5なら14以下の数は…
3a+5b…(たとえば、3の余りが1、5の余りが2なら..3+10=13≡2 mod 15)と表せるわけね ^^;…Orz~

スモークマン  
No title


嘘でしたぁ…^^;
10a+21b
a=1,b=2なら…52-15*3=7
ってな具合になるわけですね ^^

スモークマン  
No title


何回もすみません^^;;
10a+6b でよかったでした…Orz~
10+12-15=7
と…^^

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
落ち着いた色合いのクロッカスですネ
物静かな感じがしますね
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
新種かどうかは知りませんが、ヘラルドという品種です。
落ちついた色合いのクロッカスでした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
珍しい色のクロッカスも咲いていました。
いろんな色がある花は、色によって感じが随分ちがいますね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、何度もコメントを有難うございます。
貴殿の書かれた問題の場合は、本文にもありますように、
3で割った余りに掛ける数は、
他に割る数5の倍数で、3で割って1余る数だから 10です。
5で割った余りに掛ける数は、
他に割る数3の倍数で、5で割って1余る数だから 6です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
落ち着いた色合いで、私も初見でしたが気に入りました。
いろんな色のある花は面白いです。