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[答716] 余弦が等差数列

ヤドカリ

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[答716] 余弦が等差数列


 △ABC において cosA,cosB,cosC が等差数列をなし、その1つが 11/12 のとき、他の2つは?


[解答]

 簡単のため cosB=k (-1<k<1) とします。等差数列の条件より、cosA+cosC=2k です。

 k=cosB=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC より、k+cosAcosC=sinAsinC です。

 2乗して、k2+2k・cosAcosC+cos2Acos2C=(1-cos2A)(1-cos2C) 、

 k2+2k・cosAcosC+cos2A+cos2C=1 、 k2+2k・cosAcosC+(cosA+cosC)2=1+2cosAcosC 、

 k2+2k・cosAcosC+4k2=1+2cosAcosC 、 cosAcosC=(5k2-1)/(2-2k) 、

 cosA+cosC=2k と併せて、cosA,cosC を解とする2次方程式は、x2-2kx+(5k2-1)/(2-2k)=0 、

 2(1-k)x2-4k(1-k)x+(5k2-1)=0 です。

 判別式/4=4k2(1-k)2-2(1-k)(5k2-1)≧0 が必要で、

 2(1-k){2k2(1-k)-(5k2-1)}≧0 、(1-k)(1+k)2(1-2k)≧0 、

 -1<k<1 だから k≦1/2 となって、k=cosB≠11/12 です。

 また、11/12 ,k 以外の cos の値は、cosA+cosC=2k より、2k-11/12 で、

 k+cosAcosC=sinAsinC>0 より k+(11/12)(2k-11/12)>0 、k>121/408 です。

 2(1-k)x2-4k(1-k)x+(5k2-1)=0 に x=11/12 を代入し、

 121(1-k)/72-11k(1-k)/3+(5k2-1)=0 、121(1-k)-264k(1-k)+72(5k2-1)=0 、

 624k2-385k+49=0 、(16k-7)(39k-7)=0 、k=7/16,7/39 、k>121/408 より、k=7/16 です。

 2k-11/12=-1/24 になり、11/12 以外の2つは 7/16,-1/24 です。

 確認のため、cosA=11/12,cosB=7/16,cosC=-1/24 とすれば、

 sinA=(√23)/12,sinB=(3√23)/16,sinC=(5√23)/24 になり、

 sinA:sinB:sinC=4:9:10 で、これが△ABCの3辺の比になります。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

真っ白い花びら、花数圧巻です
開き始めが好きです
ナイス☆

樹☆  
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おはようございます
木蓮の花がいっぱい咲いてる姿は
圧巻です。
青い空に白いお花・・すごくすてきです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
此方では今の時期、モクレンをよく見かけます。
早く咲きだしたモクレンはもう色が変わっています。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
木蓮は曇り空を背景にすると、花と空の区別がつきにくいですので、
晴れの日を狙って撮りました。
花が多いと木蓮らしいですね。

ニリンソウ  
No title

ハクモクレン一番美しい時に写しましたね!
重厚感のある白が素晴らしいです。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
これは方程式を解いて出て来たものの…△を満たす必要条件も満たさなきゃいけませんでしたのねえ ^^;
1<cosA+cosB+cosC<=3/2 を天下り的に調べて(この問題自体自分じゃ解けなかったり…^^;;)やっとわかりましたとさ Orz~

さっちゃんこ  
No title

青空に一際際立つ白蓮が素晴しいですネ
とても綺麗です
ナイス☆彡

tsuyoshik1942  
No title

「解答」はまだ読み解けておりません。後で、再読させていただきます。
自分は、△ABCにおいて、CからABへの垂線の足をHとし、AB=12,AH=11,HB=x,CB=√(23+x^2)とおき、3個の余弦値からxを算出しました。
工夫できずの計算だけの解法ですが、二次式までで解けたので良しとしていました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
ハクモクレンは時期を逃すと色あせてしまいます。
被写体が美しいときに撮れたのがラッキーでした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
こんな問題の答がうまく1つに定まりました。
しかも、答でない答らしいものも出てきて満足です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
モクレンの白を、雲ひとつ無い日に撮影できました。
青空の背景がいちばん嬉しい被写体です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
計算方法は何通りかあると思いますが、
ある程度の注意力は必要な問題でした。