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[答717] 円に内接する五角形

ヤドカリ

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[答717] 円に内接する五角形


 AB=8,BC=5,CD=8,DE=12,EA=14 である 五角形ABCDE が円に内接しています。

 AD,BEの交点をPとして、△APE と 四角形BCDE の面積比は?


[解答1]

 AB=CD より 四角形ABCD は等脚台形だから、AC=BD=x とし、AD=y とすれば、

 トレミーの定理により、x2=5y+82 、5y=x2-64 、2乗して、25y2=x4-128x2+4096 です。

 次に、-cos∠ABD=cos∠AED だから、余弦定理により、

 -(82+x2-y2)/(2・8・x)=(122+142-y2)/(2・12・14) 、

 -21(64+x2-y2)-x(340-y2)=0 、 -21(1600+25x2-25y2)-x(8500-25y2)=0 、

 -21・1600-21・25x2+21(x4-128x2+4096)-8500x+x(x4-128x2+4096)=0 、

 -33600-525x2+21x4-2688x2+86016-8500x+x5-128x3+4096x=0 、

 x5+21x4-128x3-3213x2-4404x+52416=0 、 (x-12)(x4+33x3+268x2+3x-4368)=0 、

 ここで、x2=5y+82>64 より、x>8 だから、x4+33x3+268x2+3x-4368>0 となって、

 x=12 、5y=x2-64=80 より、y=16 です。

 AC=BD=12 ,AD=16 で、DE=CA より 四角形DEAC は等脚台形だから、CE=DA=16 です。

 四角形ABDE で トレミーの定理より、AB・DE+BD・AE=AD・BE 、8・12+12・14=16・BE 、BE=33/2 です。

 さらに、BD=DE=12 だから、ADは∠BAEの二等分線です。

 従って、

 △APE:△ABE=△APE:(△APE+△APB)=AE:(AE+AB)=14:(14+8)=7:11 、

 △ABE:△BCE=AB・AE:BC・CE=8・14:5・16=7:5 、

 △BCE:△CDE=BC・BE:CD・DE=5・33/2:8・12=55:64 、

 △APE:△ABE:△BCE:△CDE=49:77:55:64 、△ABE:四角形BCDE=49:(55+64)=7:17 です。


[解答2]

 AB=CD より 四角形ABCD は等脚台形だから、AC=BD=x とし、AD=y とすれば、

 トレミーの定理により、x2=5y+82 、5y=x2-64 、x2=5y+64 です。

 ここで、△EAD と △BDA の面積比は 14・12:8x=21:x 、その2乗は 441:x2 だから、

 (y+14+12)(-y+14+12)(y-14+12)(y+14-12):(x+y+8)(-x+y+8)(x-y+8)(x+y-8)=441:x2

 (y+26)(-y+26)(y-2)(y+2):(-x2+y2+16y+64)(x2-y2+16y-64)=441:x2

 (-y2+676)(y2-4):(-5y-64+y2+16y+64)(5y+64-y2+16y-64)=441:(5y+64) 、

 (-y2+676)(y2-4):(y2+11y)(-y2+21y)=441:(5y+64) 、

 (-y4+680y2-2704):(-y4+10y3+231y2)=441:(5y+64) 、

 441(-y4+10y3+231y2)=(5y+64)(-y4+680y2-2704) 、

 5y5-377y4+1010y3+58351y2+13520y+173056=0 、

 (y-16)(5y4-297y3-3742y2-1521y-10816)=0 、

 (y-16){-5(59-y)y3-2y3-3742y2-1521y-10816}=0 、

 ここで、14-12<y<8+5+8 、2<y<21 、よって y=16 になり、x2=5y+64=144 、x=12 です。

 以下、[解答1]と同じです。


[付記]

 結局、5次方程式を解くことになりましたが、四角形CDEAが等脚台形に見えたら、

 x=12 (5y=x2-64 より y=16) と見当をつけて、5次式を因数分解することになります。

 ( この値で 四角形CDEAがトレミーの定理を満たすことを確認すれば 見当が確信になります )

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Comments 20

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tsuyoshik1942  
No title

やはり、5次方程式を解かなければいけないのですね!
これまでも、何回か高次方程式が係わる問題に挑戦させていただきましたが、それらは、例えば因子の一つが自明であったりし、方程式の解法に無理がないように感じました。
まったくの私個人の気持ちですが、今回は、ちょっと釈然としません。

アキチャン  
No title

こんにちわ。
きれいですね~♪そして、可愛い(o^-^o)

uch*n*an  
No title

私は,時間がなかったこともあり,すぐに思い付いた[解答1]の方向で,
手計算では絶望的な感じの5次方程式をうまく解けると信じて解きました。
最初の問題文では結果も問題番号に絡まないので自信がなかったのですが,
とにかく解けてよかったです。
その後,時間を見つけて再考してみましたが,似たような解法しか思い付きませんでした。
結局は,5次方程式を解くしかないのかな。単純な割には大変ですね。
なお,解けるはずの問題なのであきらめずに頑張ったわけですが,
解けるかどうか分からない場合には,プログラムで数値的に調べることになるのでしょう。

pea*hb*zu  
No title

立式の一つが間違っていたのに気付かず、出てきた3次方程式を解いていきました。カルダノの公式を用いましたが、還元不能になり、おかしいと思い、数値解法を行うと、11.2ぐらいの数がでてきて、式は間違っていないと思い込み、またもや、3次方程式の魔界にはまりこみ、結局放棄。
この5次方程式も大変ですね、もしこの式が出てきていたのなら、最初から、グラフ電卓で調べ、X=12ではないかと、あたりをつけてから、解いたと思います。しかし、正解ではないが、それらしい数値が出てきた場合、えらい目に遭います(笑)。

たけちゃん  
No title

本問は,全く閃かず,
「もしや」と思ってAE//CD と仮定してみると,つじつまが合ったので,
そこから答を出しました.

以前も提示したことがありますが,私は,この問題で言えば
AP:BP:DP:EP=(EA*AB):(AB*BD):(BD*DE):(DE*EA)を愛用していて,
解答1,解答2と同じにx,yを定義すると,
AP:BP:DP:EP=112:8x:12x:168となります.
これより,AD:BE=(12x+112):(8x+168)=(3x+28):(2x+42).
トレミーの定理 AD*BE=14x+96 と合わせて,
AD=√((AD/BE)*(AD*BE))=√((7x+48)(3x+28)/(x+21)).
さらにトレミーの定理 AC*BD=AB*CD+BC*AD から
AD=(x^2-64)/5 となるので,
AD=(x^2-64)/5=√((7x+48)(3x+28)/(x+21)).

たけちゃん  
No title

x=12なら(つまりACDEが等脚台形ならば)式は成り立ち,
xの(√(5^2+8^2)から13までの範囲での)増加に応じ,yも増加して,
∠AEDは単調に増加,
等脚台形ABCDの底辺ADが増加,高さ減少するので,
∠ABDも増加するはずで,
∠AED+∠ABD=180°となるxは1つだけのはずであり,それはx=12.

以下は難しくはないですが,本問はほとんど「解けなかった」感覚です.

さっちゃんこ  
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こんにちは
とても綺麗な花ですネ
咲き分けの桃の花でしょうか
白とピンクの源平咲きが素晴しいです
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
桜の季節ですが、ひっそりと綺麗に咲いていました。
優しい綺麗な色合いでした。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
本文下に[付記]しました。
釈然としないかも知れませんが、
「因子の一つ」を図形から見当を付けることを期待した問題です。

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
これは...朝見たときから夕方でしたっけまで、求める面積比が違ってて ^^...最初の方でPCの力で解を求めてたのを提出しましたが(たしかに5次方程式だわ ^^;;)…そのうえ…ヘロンとプラマグプタの式から面積を求めたりで…そのときは、数値が合わないけど設定が違ってるせいだと思いそのまんまですいませんでした Orz~…

円周角から角の二等分線だからすぐ出せそうなものでしたのに…^^;...

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
枝垂れ桜がたくさん咲いている傍らで愛らしく咲いていました。
同じ樹にピンクの花も白い花もあったのですが、これだけを撮りました。

ヤドカリ  
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uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
こんなに単純そうな問題が5次方程式を必要とすることに驚いての出題です。
この5次方程式だけなら解く気がしませんが、
[付記]のように見当をつければ何とか解けそうに思ったことも、出題した理由です。

ヤドカリ  
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pea*hb*zuさん、コメントを有難うございます。
「グラフ電卓で調べ、X=12ではないかと、あたりをつけてから」より、
[付記]のようにあたりをつけてほしい問題でした。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難うございます。
「『もしや』と思ってAE//CD と仮定してみると」がポイントでした。
表現は違いますが、[付記]のように考えての出題でした。

ヤドカリ  
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さっちゃんこさん、コメントを有難うございます。
背景に見えているように、
同じ樹にピンクと白と混ざったものが咲いていて綺麗でした。
見た瞬間、撮る気になりました。

ヤドカリ  
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スモークマンさん、コメントを有難うございます。
単純な設定で、かなり面倒な問題でした。
こんなに大変な5次方程式が出てくるとは思わなかったでしょう。

ニリンソウ  
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なんと愛しげな桜ですね!
そちらもさくら満開? 今日の上野公園は最高の人出と
満開の桜で埋め尽くされていました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難うございます。
小さい木で、多分、桃だと思いますが、
桜がたくさん咲いていた近くに咲いていました。
それから、桜はソメイヨシノがほぼ満開の状態です。

樹☆  
No title

花桃?
数多く品種改良されてるようです。
すご~~く可愛いです^^

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
多分、花桃。
色合いが可愛いです。
樹ちゃんの名前アイコンのような色です。