[答717] 円に内接する五角形

[答717] 円に内接する五角形


　AB＝8，BC＝5，CD＝8，DE＝12，EA＝14 である 五角形ABCDE が円に内接しています。

　AD，BEの交点をPとして、△APE と 四角形BCDE の面積比は？


[解答1]

　AB＝CD より 四角形ABCD は等脚台形だから、AC＝BD＝x とし、AD＝y とすれば、

　トレミーの定理により、x²＝5y＋8² 、5y＝x²－64 、２乗して、25y²＝x⁴－128x²＋4096 です。

　次に、－cos∠ABD＝cos∠AED だから、余弦定理により、

　－(8²＋x²－y²)/(2･8･x)＝(12²＋14²－y²)/(2･12･14) 、

　－21(64＋x²－y²)－x(340－y²)＝0 、 －21(1600＋25x²－25y²)－x(8500－25y²)＝0 、

　－21･1600－21･25x²＋21(x⁴－128x²[phone]x＋x(x⁴－128x²＋4096)＝0 、

　－33600－525x²＋21x⁴－2688x²[phone]x＋x⁵－128x³＋4096x＝0 、

　x⁵＋21x⁴－128x³－3213x²－4404x＋52416＝0 、 (x－12)(x⁴＋33x³＋268x²＋3x－4368)＝0 、

　ここで、x²＝5y＋8²＞64 より、x＞8 だから、x⁴＋33x³＋268x²＋3x－4368＞0 となって、

　x＝12 、5y＝x²－64＝80 より、y＝16 です。

　AC＝BD＝12 ，AD＝16 で、DE＝CA より 四角形DEAC は等脚台形だから、CE＝DA＝16 です。

　四角形ABDE で トレミーの定理より、AB･DE＋BD･AE＝AD･BE 、8･12＋12･14＝16･BE 、BE＝33/2 です。

　さらに、BD＝DE＝12 だから、ADは∠BAEの二等分線です。

　従って、

　△APE：△ABE＝△APE：(△APE＋△APB)＝AE：(AE＋AB)＝14：(14＋8)＝7：11 、

　△ABE：△BCE＝AB･AE：BC･CE＝8･14：5･16＝7：5 、

　△BCE：△CDE＝BC･BE：CD･DE＝5･33/2：8･12＝55：64 、

　△APE：△ABE：△BCE：△CDE＝49：77：55：64 、△ABE：四角形BCDE＝49：(55＋64)＝7：17 です。


[解答2]

　AB＝CD より 四角形ABCD は等脚台形だから、AC＝BD＝x とし、AD＝y とすれば、

　トレミーの定理により、x²＝5y＋8² 、5y＝x²－64 、x²＝5y＋64 です。

　ここで、△EAD と △BDA の面積比は 14･12：8x＝21：x 、その２乗は 441：x² だから、

　(y＋14＋12)(－y＋14＋12)(y－14＋12)(y＋14－12)：(x＋y＋8)(－x＋y＋8)(x－y＋8)(x＋y－8)＝441：x² 、

　(y＋26)(－y＋26)(y－2)(y＋2)：(－x²＋y²＋16y＋64)(x²－y²＋16y－64)＝441：x² 、

　(－y²＋676)(y²－4)：(－5y－64＋y²＋16y＋64)(5y＋64－y²＋16y－64)＝441：(5y＋64) 、

　(－y²＋676)(y²－4)：(y²＋11y)(－y²＋21y)＝441：(5y＋64) 、

　(－y⁴＋680y²－2704)：(－y⁴＋10y³＋231y²)＝441：(5y＋64) 、

　441(－y⁴＋10y³＋231y²)＝(5y＋64)(－y⁴＋680y²－2704) 、

　5y⁵－377y⁴＋1010y³＋58351y²＋13520y＋173056＝0 、

　(y－16)(5y⁴－297y³－3742y²－1521y－10816)＝0 、

　(y－16)｛－5(59－y)y³－2y³－3742y²－1521y－10816｝＝0 、

　ここで、14－12＜y＜8＋5＋8 、2＜y＜21 、よって y＝16 になり、x²＝5y＋64＝144 、x＝12 です。

　以下、[解答1]と同じです。


[付記]

　結局、５次方程式を解くことになりましたが、四角形CDEAが等脚台形に見えたら、

　x＝12 (5y＝x²－64 より y＝16) と見当をつけて、５次式を因数分解することになります。

　( この値で 四角形CDEAがトレミーの定理を満たすことを確認すれば 見当が確信になります )

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