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[答718] 内接円の半径の比

ヤドカリ

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[答718] 内接円の半径の比


 円に内接する四角形ABCDがあり、対角線の交点をPとします。

 AB=8 ,BC=22 ,AC=25 ,AP:PC=7:33 のとき、△APD,△CPD の内接円の半径の比は?


[解答1]

 AP=AC・7/40=25・7/40=35/8 ,PC=AC・33/40=25・33/40=165/8 です。

 スチュワートの定理により、

 40BP2=33AB2+7BC2-(7・33/40)AC2=33・82+7・222-(7・33/40)・252=15125/8 、

 BP2=3025/64 、BP=55/8 です。

 次に、△DCP∽△ABP より

 DC:AB=CP:BP=DP:AP 、DC:8=165/8:55/8=DP:35/8 、DC=24,DP=105/8 、

 また、△DAP∽△CBP より DA:CB=AP:BP 、DA:22=35/8:55/8 、DA=14 です。

 △APDと△CPDの、 面積比は、AP:PC=7:33 、

 周囲の長さの比は、(14+35/8+105/8):(24+165/8+105/8)=6:11 、

 よって、内接円の半径の比は、7/6:33/11=7:18 です。


[解答2]

 AB=a,BC=b,CD=c,DA=d とします。

 △DCP∽△ABP より DC:AB=CP:BP=DP:AP 、c:a=CP:BP=DP:AP だから、

 CP=cm,BP=am,DP=cn,AP=an とおくことができます。

 また、△DAP∽△CBP より DA:CB=AP:BP 、d:b=an:am だから、n=dk,m=bk とおくことができます。

 よって、CP=bck,BP=abk,DP=cdk,AP=adk になります。

 △APDと△CPDの、 面積比は、AP:PC=adk:bck=ad:bc 、

 周囲の長さの比は、(d+adk+cdk):(c+bck+cdk)=d(1+ak+ck):c(1+bk+dk) 、

 よって、内接円の半径の比は、

 ad/{d(1+ak+ck)}:bc/{c(1+bk+dk)}=a(1+bk+dk):b(1+ak+ck)=(a+abk+adk):(b+abk+bck)

  =(AB+BP+AP):(BC+BP+CP) で、△ABPと△BCPの周囲の長さの比になります。

 本問では、 AB=8 ,BC=22 で、[解答1]のように、AP=35/8 ,PC=165/8 ,BP=55/8 だから、

 (8+55/8+35/8):(22+165/8+55/8)=7:18 になります。

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Comments 14

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ひとりしずか  
No title

鮮やかな・・澄んだ赤がきれいですね!
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

まぁ~赤一色のボケですね。
今日はしっとり春雨・・・芽吹きが進みます。

ナイス

アキチャン  
No title

こんにちわ。
満開の頃のボケちゃん、綺麗ですね(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答2]の結果は意外な発見ですね☆
何かありそうな気がしたり…^^;…
Orz~

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」もどきでした。
スチュワートの定理??でした。少なくとも使ったことはありませんでした。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
木瓜といったらやはりこの色が多いですね。
よく目立ちます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
今日は目まぐるしく変化する天気でした。
風も強く、この季節にしては、かなり寒い1日でした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
今、木瓜の花も満開です。桜より満開が続くのが嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
そう難しくないですが、[解答2]のような不思議な性質を紹介する問題でした。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
中線定理の拡張がスチュワートの定理というか、
スチュワートの定理の特別な場合が中線定理というか、
どちらでもいいのですが、
余弦定理を2回使うのが面倒なときに使える定理です。

樹☆  
No title

こんばんは
可愛いボケの花好きです。。
先日ボケの盆栽を風で倒れ・・枝が折れたと知人が
悲しげに教えてくれました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
ボケの花も盆栽にするのですね。
私の貧弱な発想では松や皐月しか思いつきません。

uch*n*an  
No title

あまり面白そうな感じがしなかったので一般的に考えるのをやめてしまいましたが,
[解答2]を見るとなかなか興味深い結果になるのですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
解き方としては面積と周囲の長さで内接円の半径を求めるしかないと思いますが、
[解答2]に書いた性質を紹介するための問題でした。