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[答722] 五面体の体積

ヤドカリ

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[答722] 五面体の体積


 面が、正三角形2個,正方形1個,正六角形を二等分してできる等脚台形2個である

 図で示されたような展開図をもつ 五面体の体積は?

 ただし、正三角形,正方形,正六角形の1辺の長さはいずれも 6 とします。


[解答1]

 この五面体は1辺の長さが 6 の正四面体2個と1辺の長さが 6 の正八面体 1/2 個を合わせたものです。

 1辺の長さが a の正四面体の体積が a3(√2)/12 、1辺の長さが a の正八面体の体積が a3(√2)/3 だから、

 求める五面体の体積は、 2・63(√2)/12+63(√2)/3/2=72√2 になります。


[解答2]

 この五面体は3辺の長さが 6,3√3,3√3 の二等辺三角形を底面とする

 高さが 6 の三角柱1個と 高さが 3 の三角錐2個を合わせたものです。

 3辺の長さが 6,3√3,3√3 の二等辺三角形は、

 底辺を 6 にすれば 高さが 3√2 、面積は 6・(3√2)/2=9√2 になり、

 求める五面体の体積は、 (9√2)(6+2・3/3)=72√2 になります。


[解答3]

 この五面体は3辺の長さが 6,3√3,3√3 の二等辺三角形を底面とする高さが 12 の三角柱から、

 底面が 3×6 の長方形である四角錐2個を除いたものです。

 3辺の長さが 6,3√3,3√3 の二等辺三角形は、

 底辺を 6 にすれば 高さが 3√2 、面積は 6・(3√2)/2=9√2 になり、

 四角錐の高さも 3√2 だから、

 求める五面体の体積は、 (9√2)・12-2・18・(3√2)/3=72√2 になります。


[解答4]

 この五面体2個を合わせると1辺の長さが 12 の正四面体になるから、

 求める五面体の体積は、 123(√2)/12/2=72√2 になります。

 正四面体の体積の公式を使わないで解こうとすれば、

 正四面体は1辺の長さが 6√2 の立方体から 体積が立方体の 1/6 の三角錐4個を除いたものだから、

 求める五面体の体積は、 (6√2)3・(1-4・1/6)/2=72√2 になります。

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Comments 12

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます
真っ赤でとても綺麗な花
菊桃でしょうか
バックの緑とよくあっていますね
ナイス☆彡

樹☆  
No title

おはようございます。
紅花トキワマンサクでしょうか。。
赤い花がきれいで印象的です。ナイス

アキチャン  
No title

こんにちわ。
真っ赤な菊桃、綺麗ですね(o^-^o)

ニリンソウ  
No title

これも解らない!
トキワマンサクか花ももか?

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」でした。
いろいろな手法があるのですね!自分としては「解答2」が標準に思えたのですが、皆さんの手法分布はいかがだったのでしょうか?

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしは…[解答2]でしたが...何かありそうと思うも気付けず...
最後のものがエレガントな想定解でしたのね☆
正四面体の合同分割のフォルム...空間は苦手だ…^^;
Orz~

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難うございます。
仰るとおり、菊桃です。
桃の花の中でも遅い時期に咲くので撮ることができました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
マンサクでなく、キクモモでした。
大阪城公園の桃園の花桃は最盛期をかなり過ぎていましたが、
菊桃だけは綺麗に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難うございます。
他の花桃が萎れている中、真っ赤な菊桃だけは綺麗に咲いていました。
菊桃は、花桃の時期の最後まで咲いてくれます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
トキワマンサクもよく見かける花ですね。
写真では判断しにくかったかも知れませんが、菊桃の方でした。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
[解答2]が多かったように思います。
[解答4]もけっこうありました。
私としては[解答4]で問題を考え、別解として真っ先に[解答1]で解いたのですが、
[解答1]で答えた方はほとんどいませんでした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
何かありそうだと思われるのは、問題をご覧になってのことか、
私が出題しているからか、よく分かりませんが、
楽しく解いて頂ければ結構です。