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[答723] 最大値と最小値の差の最小値

ヤドカリ

ヤドカリ



[答723] 最大値と最小値の差の最小値


 f(x)=x3-6x2+9x (a≦x≦a+1) の最大値と最小値の差を g(a) とするとき、

 g(a) の最小値は?


[解答]

 まず、f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3) だから、

 f(x) の 極大値は f(1)=4 ,極小値は f(3)=0 です。

 b=f(a+k) のグラフを 0≦k≦1 の範囲で k を変化させて描けば、

 図のような帯状のグラフになり、

 各 a に対して、いちばん上が最大値,いちばん下が最小値だから、この幅が g(a) です。

 いちばん狭い a は 図の ↑ で示した所で、これは b=f(a+1) と b=f(a) との交点の a の値です。

 (a+1)3-6(a+1)2+9(a+1)=a3-6a2+9a 、

 3a2+3a+1-6(2a+1)+9=0 、3a2-9a+4=0 、a=(9±√33)/6 のとき、

 g((9-√33)/6)=4-f((9-√33)/6)=4-{2+(2√33)/9}=2-(2√33)/9 、

 g((9+√33)/6)=f((9+√33)/6)-0=2-(2√33)/9 、

 どちらを計算しても、g(a) の最小値は 2-(2√33)/9 です。

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Comments 16

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樹☆  
No title

わぁ~シロバナタンポポ
可憐で可愛いです^^
探しにゆこう。一回だけ見たことがあります。

おはようございます♪

ひとりしずか  
No title

白花たんぽぽ会ってみたい花の一つです。
ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

「解答」と結果として同じ計算式・アプローチとなりますが、自分は、題意を充たすところは、極大値、あるいは極小値をx値が1の間隔ではさみ、両者の値が等しいところと解釈しました。
従って、f(a)=f(a+1)と直ちに置き、aを求めました。

アキチャン  
No title

おはようございます。
まだ見たことがないのです…綺麗ですね(o^-^o)

さっちゃんこ  
No title

こんにちは♪
白のタンポポ 可愛いですね(^_^)v
此方でもたまに見かけます!!
ナイス♪

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
有限長の線分での最小値=0 でも最大値は決まりませんね…
線分が傾いてもいいから...いくらでも大きく取れますものね ^^
Orz~

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
シロバナタンポポはたまに出会うことがあり、出逢えば嬉しくなります。
近くに黄色のタンポポが咲いていると白色が引き立ちます。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
シロバナタンポポは九州に多いと聞きます。
東北までは分布が広がっていないのでしょうね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
貴殿の考え方でもちろん正しいのですが、
私は、視覚的に分かるような解答にしよう思って、
上記のような解答になりました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
私は何箇所かで見たことがあります。
上の写真は、大阪城公園で撮ったものです。
大阪城公園の中には、所々で咲いていますので、
来られる機会があれば、見てくださいね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
シロバナタンポポは当方より九州に多いそうですので
私よりよく見られていることでしょう。
黄色のタンポポが近くで咲いていると白が際立ちます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
最大値と最小値の差は、a軸に垂直な線を書けば得られます。
左右に行くに従って、いくらでも大きくなることが
グラフを見ればよくわかります。

こっこちゃん  
No title

こんばんは!(^^)!

近頃 散歩に行けてませんので
たんぽぽここで 見れて嬉しいです
黄白とのコラボ珍しいですよね ナイス☆

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難うございます。
園芸用の花もいいのですが、道端に生えている草花も素敵です。
ただ、野草はいろんな種類を見ることができないので、
ブログの記事に使おうとすると困ります。

ニリンソウ  
No title

白花タンポポ一ヶ所だけ咲く場所しってるんですが
上手くタイミング合わせて行けるかどうかです。
珍しいです

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
此方では何箇所もあります。
其方は分布が限られているのでしょうね。