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[答724] 辺の長さが連続自然数

ヤドカリ

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[答724] 辺の長さが連続自然数


 3辺が 3,4,5 の三角形の面積は 6 ,3辺が 13,14,15 の三角形の面積は 84 ですので、

 n=4,14 のとき 3辺が n-1,n,n+1 三角形の面積が自然数になります。

 では、14<n<1000 の範囲で3辺が n-1,n,n+1 で、三角形の面積が自然数になる 自然数 n は?


[解答1]

 {(n-1)+n+(n+1)}/2=3n/2 だから、

 面積は √{(3n/2)(3n/2-n+1)(3n/2-n)(3n/2-n-1)}=(n/4)√{3(n2-4)} となって、n は偶数です。

 n=2a とおけば、面積は a√{3(a2-1)} で、これが自然数だから、3(a2-1)=(3b)2 とおけば、a2-3b2=1 、

 (a+1)(a-1)=3b2 です。また、14<n<1000 なので、7<a<500 です。

 a が偶数の場合、

  a+1,a-1 は奇数で 差が 2 なので 互いに素、片方が平方数,他方は 3×平方数 です。

  また、7<a<500 なので、6<a-1<a+1<501 、

  この範囲で 3×平方数 の形で表される奇数は、27,75,147,243,363 だけですので、

  (a+1,a-1)=(27,25),(363,361) 、a=26,362 です。

 a が奇数の場合、

  (a+1)/2,(a-1)/2 は自然数で 差が 1 なので 互いに素、片方が平方数,他方は 3×平方数 です。

  また、7<a<500 なので、3<(a-1)/2<(a+1)/2<250+1/2 、

  この範囲で 3×平方数 の形で表される自然数は、12,27,48,75,108,147,192,243 だけですので、

  ((a+1)/2,(a-1)/2)=(49,48) 、a=97 です。

 まとめると、a=26,97,362 、n=2a=52,194,724 です。


[解答2]

 {(n-1)+n+(n+1)}/2=3n/2 だから、

 面積は √{(3n/2)(3n/2-n+1)(3n/2-n)(3n/2-n-1)}=(n/4)√{3(n2-4)} となって、n は偶数です。

 n=2a とおけば、面積 a√{3(a2-1)} が自然数だから、3(a2-1)=(3b)2 とおけば、a2-3b2=1 です。

 以下、x,X を自然数、y,Y を整数とします。

 S={x+y√3|x2-3y2=1} とすれば、x+y√3∈S のとき x-y√3∈S で、

 (x+y√3)(x-y√3)=1 だから y>0 のとき 0<x-y√3<1<x+y√3 です。

 また、集合Sの 1 より大きい要素のうち、最小の要素は 2+√3 です。

 (x+y√3)(2+√3)=(2x+3y)+(x+2y)√3 、(2x+3y)2-3(x+2y)2=x2-3y2 だから、

 x+y√3∈S ならば (x+y√3)(2+√3)∈S になります。

 (X+Y√3)/(x+y√3)=(X+Y√3)(x-y√3)/(x2-3y2)={(Xx-3Yy)+(Yx-Xy)√3}/(x2-3y2) 、

 (Xx-3Yy)2-3(Yx-Xy)2=(X2-3Y2)(x2-3y2) だから、

 x+y√3∈S,X+Y√3∈S ならば (X+Y√3)/(x+y√3)∈S になります。

 ここで、x+y√3∈S のとき、x+y√3<X+Y√3<(x+y√3)(2+√3) である X+Y√3∈S が存在すれば、

 1<(X+Y√3)/(x+y√3)<2+√3 を満たす (X+Y√3)/(x+y√3)∈S が存在することになり、

 集合Sの 1 より大きい要素のうち、最小の要素が 2+√3 であることに反します。

 よって、集合Sの 1 より大きい要素を小さい順に並べると、(2+√3)k (k=1,2,3,……) になり、

 a2-3b2=1 を満たす自然数 a は {(2+√3)k+(2-√3)k}/2 (k=1,2,3,……) で表され、

 n=2a=(2+√3)k+(2-√3)k (k=1,2,3,……) です。

 ak=(2+√3)k+(2-√3)k とおけば、a1=4,a2=14,

 ak+2=(2+√3)k+2+(2-√3)k+2=(2+√3)(2+√3)k+1+(2-√3)(2-√3)k+1

  ={4-(2-√3)}(2+√3)k+1+{4-(2+√3)}(2-√3)k+1

  =4ak+1-{(2-√3)(2+√3)k+1+(2+√3)(2-√3)k+1}

 ak+2=4ak+1-ak となって、

 a3=4a2-a1=52,a4=4a3-a2=194,a5=4a4-a3=724,a6=4a5-a4=2702,……

 求める答は 52,194,724 です。

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Comments 16

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樹☆  
No title

おはようございます
梨の花でしょうか。楚々として美しいです。

tsuyoshik  
No title

「解答1」を拝見し、ようやく霧が晴れました。
似た道筋を歩んでいたのですが、「二者が互いに素」との基本概念が欠落し泥沼に嵌っておりました。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしも[解答1]は追えましたぁ☆
ズルいけど…立式後はPCに計算させました=手計算じゃ分からなかったり…^^; Orz~
[解答2]は、ペル方程式だと思いますが…なじめないままです…^^;;…
but...とっても便利そうですね☆

こっこちゃん  
No title

白で可憐な 花ですね

花芯 素敵な色で~ ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
真っ白な花弁に真っ赤な蕊が可愛いですネ
余り見た記憶がありません
質素ながらも蕊の赤が効いていますね
ナイス☆彡

アキチャン  
No title

こんばんわ。
なんのお花でしょうね。真っ赤なシンが珍しいですね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
よくご存知ですね。仰るとおり、梨の花です。
私にとっても好きな花の1つです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
互いに素なので、範囲が決まっていれば、かなり限定されます。
そのことに目をつければ解ける問題です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
ペル方程式をまともに解こうとすれば大変です。
一応、まとめておいたのが[解答2]です。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難うございます。
二十世紀梨の花です。果実の花も独特の美しさがあります。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
二十世紀梨の花です。其方の果物とは違いますね。
ご存知なくても無理ないと思います。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難うございます。
二十世紀梨の花です。
私もほとんど見る機会がありません。

ニリンソウ  
No title

梨の花が咲いた頃ですかー
見逃さないように行ってみよう・・・梨畑。
リンゴの花も好きですよ。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難うございます。
こちらは温暖な気候ですので、梨や林檎はほとんど見られません。
林檎の花も見たことはありますが、長い間見ていません。
また、咲いている所を見たいです。

ひとりしずか  
No title

梨の花でしたか・・・
赤いのが雌しべ?
こちらでは見れないですよね・・多分
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントと早速のナイス!を有難うございます。
白い花の中央に赤い雌しべがある可愛い花です。
私にとっても好きな花の1つです。