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[答726] 平行四辺形の面積の最小値

ヤドカリ

ヤドカリ



[答726] 平行四辺形の面積の最小値


 1辺の長さが 5 の正方形ABCDと、その内部の点Pがあり、Pと辺ABの距離が 1,Pと辺BCの距離が 2 です。

 辺AB,BC,CD,DA上にそれぞれ点E,F,G,H をとって、EFが点Pを通り、四角形EFGHが平行四辺形になる

 ようにするとき、この平行四辺形EFGHの面積Sの最小値は?


[解答1]

 A(0,5),B(0,0),C(5,0),D(5,5) とし、

 直線EFを y-2=-m(x-1) (1/2≦m≦3) とすれば、

 E(0,m+2),F(2/m+1,0),G(5,3-m) になり、

 S=25-(m+2)(2/m+1)-(4-2/m)(3-m)=25-(m+4+4/m)-(-4m+14-6/m)

  =3m+2/m+7≧2√(3m・2/m)+7=7+2√6 、

 等号が成り立つのは、3m=2/m のときだから、m=(√6)/3 で、1/2≦m≦3 を満たします。

 従って、Sの最小値は 7+2√6 です。


[解答2]

 BF=x+1,BE=y+2 (0<x≦4,0<y≦3) とすれば、x:2=1:y となって、xy=2 になります。

 S=25-2△BFE-2△AEH=25-(x+1)(y+2)-(3-y)(4-x)=11-2xy+x+3y=7+x+3y 、

 ここで、相加・相乗平均の関係により、x+3y≧2√(x・3y)=2√6 だから、S≧7+2√6 です。

 等号が成り立つのは、x=3y のときだから、

 xy=2 より x・3y=6 、x2=6 、x=√6,y=(√6)/3 となり、

 0<x≦4,0<y≦3 を満たします。

 従って、Sの最小値は 7+2√6 です。

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Comments 19

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ヤドカリ  
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写真の花はヤマブキソウです。
山吹に似ていますが、花弁が4枚です。

樹☆  
No title

おはようございます
ヤマブキに似てるけど・・こんな低地に・・
と思って見てました。
ヤマブキとは縁がないのですね。明るい色で可憐です^^

ひとりしずか  
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チョッと見クサノオかとおもいましたが~
花の色がヤマブキ色ですね
ナイス☆

さっちゃんこ  
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おはようございます
キジムシロでもないし名前が判りませんが黄色の可愛い花
元気を貰えますね
ナイス☆彡

tsuyoshik1942  
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「解答2」でした。
答を得ることが第一義ですが、やどかりさんのこの種の問題に関しては、「相加・相乗平均の関係」の適用を、自分に課しているので、それを充たせうれしかったです。

こっこちゃん  
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おはようございます !(^^)!

ヤマブキソウ 花びらの枚数にも
色々あるのですね 自然の花たちは面白く不思議ですよね ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしも[解答2]で☆
相似関係から、相加相乗の形の式が現れたのでにんまり♪
どこで考えるかで違うものですね…Orz~

アキチャン  
No title

こんにちわ。
ヤマブキではなくヤマブキソウの方ですね(o^-^o)
一瞬、ヤマブキを撮られたと思いました
…ほんと、よく似てますね。。

風 草  
No title

鮮やかな黄色で、ほんとにヤマブキによく似たお花ですね。
黄色いお花は見てると、明るい気持ちになります。

ナイス☆

ヤドカリ  
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樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ヤマブキの5枚の花弁と数が違いますが、本当に雰囲気が似ています。
他人の空似といったところでしょうか。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
野草も黄色の花が多いですね。
色はヤマブキそっくりですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
花の名前はヤマブキソウです。
山吹に似た雰囲気の草本です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
「相加・相乗平均の関係」に拘られたのですね。
このような図形の最大最小のときによく使います。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
私も自然の花達の面白さ・不思議さを感じます。
私は、ブログを初めていろいろ注意が向くようになりました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
「相加相乗の形の式が現れたのでにんまり」は失礼ながら、
このブログに毒されている証拠の1つです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難うございます。
はい、ヤマブキソウの方です。
よく似ているのですが、地面近くに咲いているので区別できます。

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!を有難うございます。
ヤマブキが咲き誇っている季節です。
黄色のヤマブキソウからも元気が貰えます。

ニリンソウ  
No title

山吹は木、ヤマブキソウは草。
うちも蕾が出ていますよ、 明るい黄色で大好きです。

ナイス

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
木本と草本の違いがあっても、色と雰囲気がよく似ています。
どちらも明るい黄色が目立ちますね。