FC2ブログ

Welcome to my blog

[答727] 弓形2個と三角形

ヤドカリ

ヤドカリ



[答727] 弓形2個と三角形


 図のように、弦ABを共有し、ABに関して同じ側にある、中心を内部に含む2つの弓形があり、

 Aを通る直線と弓形の弧の部分との交点をP,Qとします。

 AB=12,2つの弓形の半径を 22,8 とするとき、△BPQ の面積の最大値は?


[解答1]

 座標平面上で、A(0,0),B(12,0) とし、直線APを x=my とします。

 外側の弓形とy軸との交点のy座標は、三平方の定理より √(442-122)=16√7 だから、

 外側の弓形は (12,0),(0,16√7) を直径の両端とする円の一部で、x(x-12)+y(y-16√7)=0 、

 x=my とすれば、(m2+1)y2-(12m+16√7)y=0 より、

 P(m(12m+16√7)/(m2+1),(12m+16√7)/(m2+1)) になります。

 内側の弓形とy軸との交点のy座標は、三平方の定理より √(162-122)=4√7 だから、

 内側の弓形は (12,0),(0,4√7) を直径の両端とする円の一部で、x(x-12)+y(y-4√7)=0 、

 x=my とすれば、(m2+1)y2-(12m+4√7)y=0 より、

 Q(m(12m+4√7)/(m2+1),(12m+4√7)/(m2+1)) になります。

 よって PQ=√{m2(12√7)2/(m2+1)2+(12√7)2/(m2+1)2}=(12√7)/√(m2+1)

 BとPQの距離は、ヘッセの公式により、12/√(m2+1) だから、

 △BPQ={(12√7)/√(m2+1)}{12/√(m2+1)}/2=(72√7)/(m2+1) となって、

 m=0 のとき、最大値 72√7 になります。


[解答2]

 ∠PBQ=∠AQB-∠APB が一定で、 AB⊥AP のとき、BP,BQ は直径となり、長さは最大です。

 よって、このとき、△BPQ の面積が最大になり、

 PQ=PA-QA=√(442-122)-√(162-122)=12√7 だから、

 △BPQ=PQ・AB/2=(12√7)・12/2=72√7 です。

.

スポンサーサイト



Comments 15

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

おはようございます!
清々しい朝です、気温は7月並みになると予報ですね。
白ヤマブキですか秋に黒い実が出来るのが特徴ですね
ナイス
飯たべて山へ行きます・・雪があるでしょう。

樹☆  
No title

おはようございます
シロヤマブキ・・自生して咲いてるとこはまだ見たことは
ありません。ここで出逢ってよかったぁ~
ありがと^^可憐な花ですね。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
真っ白なヤマブキの花 綺麗ですネ
白のヤマブキには秋には黒い実が生るのが特長ですネ
ナイス☆彡

アキチャン  
No title

おはようございます。
白は珍しいですね、やどかりさんのところでは、
いつも色違いが楽しめます(o^-^o)

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」でした。もっとも、最初から二つの円周角に気づけたわけでなく、座標を用いた計算の途中で閃きました。その時は、「これだ!」とうれしくなりました。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
わたしも[解答2]にやっと気付けて Aha!! でしたぁ☆
小さい円の中心が外にあっても同じですね…^^;v…Orz~

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ヤマブキに比べ、シロヤマブキの清楚な雰囲気が私は好きです。
ところで、季節が入り混じった時期ですね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
シロヤマブキの自生は中国地方のほんの限られた場所だそうで、
なかなか見られないそうです。
ということで、園芸用に植えられているのを見ることになりますね。

ヤドカリ  
No title

> 2014/4/25(金) 午前 7:53の内緒様
コメントの内容を承知しました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ヤマブキとは、色が違うだけでなく、もともと異なる種類ですので、
実をつけるのも不思議はないですね。
覚えていたら、秋になって実を見たいです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
シロヤマブキは4弁花で、もともと5弁花のヤマブキとは違います。
でも全体的な雰囲気は似ていますね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
計算途中でも、よい解法を思いついた時は嬉しいものですね。
むしろ嬉しさは、最初から気づくより大きいでしょう。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
「Aha!! でしたぁ☆」と言ってもらえるような問題をこれからも思いつくか自信ありませんが、
これからもよろしくお願いします。

ひとりしずか  
No title

真っ白い花びらがあの4つの黒い実に~
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難うございます。
真っ白な清涼感のある花が結実すると様子が変わりますね。
植物も不思議です。