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[答728] 接点までの距離

ヤドカリ

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[答728] 接点までの距離


 AB=14,BC=12,CD=11,DA=13 の 四角形ABCDには外接円と内接円があり、

 AB,BC,CD,DA と内接円の接点をそれぞれ K,L,M,N とするとき、AK=AN=?


[解答1]

 cosC=-cosA に注意して △ABD,△CDBで余弦定理より

 BD2=AB2+DA2-2・AB・DA・cosA=BC2+CD2+2・BC・CD・cosA 、

 よって、2(AB・DA+BC・CD)cosA=AB2+DA2-BC2-CD2

 2(AB・DA+BC・CD)(1+cosA)=(AB+DA)2-(BC-CD)2=(AB+DA+BC-CD)(AB+DA-BC+CD) です。

 次に、sin2A/tan2(A/2)=(1-cos2A)(1+cosA)/(1-cosA)=(1+cosA)2

 sinA/tan(A/2)=1+cosA になります。

 また、内接円の半径を r とすれば、r/AK=tan(A/2) より、AK=r/tan(A/2) 、

 四角形ABCDの面積を S とすれば、

 r=2S/(AB+BC+CD+DA)=(AB・DA+BC・CD)(sinA)/(AB+BC+CD+DA) です。

 更に、r/AK=tan(A/2) より、AK=r/tan(A/2) だから、

 AK=(AB・DA+BC・CD){(sinA)/tan(A/2)}/(AB+BC+CD+DA)

  =2(AB・DA+BC・CD)(1+cosA)/{2(AB+BC+CD+DA)}

  =(AB+BC-CD+DA)(AB-BC+CD+DA)/{2(AB+BC+CD+DA)}

  =28・26/(2・50)=728/100=7.28 になります。


[解答2]

 内接円の中心を P,半径を r とします。

 また、頂点 A,B,C,D から接点までの距離をそれぞれ a,b,c,d とします。

 PK⊥AB より ∠PAK+∠APK=90゚ 、∠PAK+∠PCL=∠BAD/2+∠BCD/2=180゚/2=90゚ だから、

 ∠APK=∠PCL 、また ∠AKP=∠PLC=90゚ だから、△APK∽△PCL になり、

 AK:PL=PK:CL 、a:r=r:c 、ac=r2 になります。

 同様に、bd=r2 になり、ac=bd 、a:b=d:c です。

 加比の理により、a:b=d:c=(a+d):(b+c)=AD:BC=13:12 になり、

 a=AK=AB・13/(13+12)=14・13/25=182/25=7.28 です。


☆ a=7.28 ,b=6.72 ,c=5.28 ,d=5.72 です。

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Comments 17

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tsuyoshik1942  
No title

「解答1」と同じく余弦定理を使いました。
そこまでは良いのですが、その後は、BDおよびACの実長まで求め、大変大きな、かつ複雑な数値を操作し、やっと答を得ました。
この時点でも、何かスマートな手法があるはずと思ったのですが!

「解答2」は、リコメの中に「相似」を目にしたときに閃きました。

ひとりしずか  
No title

庭のヒトリシズカ散りはじめています。
来年もっと増えるのを期待して・・
ナイス☆

pea*hb*zu  
No title

目標達成おめでとうございます。やどかりさんの長い道を、私が歩き始めたのが遅すぎたとを残念に思ってます。時間内に解けるか解けないかの緊張感がないと、やる気が起こりませんので、過去問は見ませんし、解きません。解答者(私)の我がままですが、今の形でなくても、いつまでも作問を続けられ、出題がずっと続くことを願っています。

uch*n*an  
No title

うーむ,加比の理か。
結果の式から簡単にできると思ったのですが,そこまでは気付かなかった。
残念。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは取り組んでみると...思いの外手強く…^^;
しばしにらめっこしてました…ら...閃き降臨♪
でも…[解答2]のようにのみでは分からず...ブラマグプタの式を使ったりの複合技でしたけど…Orz~

ニリンソウ  
No title

ヒトリシズカ種になりそうですね、 次はフタリシズカが
出てくるでしょう。

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

先の、自分のコメントは言葉が足りませんでした。「加比の理」は使えておりません。
a+b=14→b=14-a、a+c=13→c=13-a、c+d=11→d=a-2より
a*(a-2)=(14-a)(13-a)→25a=182→a=7.28 でした。

さっちゃんこ  
No title

今日は
ヒトリシズカでしょうか
実際には見たことの無い花です
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
対角線の長さを求めるととんでもない数値が出てきますね。
相似を使うとこんなに簡単になることに出題者の私も驚きました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
写真の花はキビヒトリシズカです。
ヒトリシズカはこちらで見た記憶がありません。
やはり寒いところの花ですね。

ヤドカリ  
No title

pea*hb*zuさん、早速のコメントを有難うございます。
こんなブログですので、あまり知られることがなかったと思います。
問題を思いつくようでしたら続けたいと思っています。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
加比の理ははっきりと習った記憶はないのですが、
a/b=c/d のとき a/b=c/d=(a+c)/(b+d) の証明は見ますが、
問題によっては便利なことも多いので、どこかで習うべきですよね。
内接円の半径を求めないのが自慢です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
閃き降臨の瞬間は嬉しいものですね。
それをうまくまとめて完成です。まとめる作業も楽しいものです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
これはキビヒトリシズカで、ヒトリシズカとは少し異なります。
ヒトリシズカを見る機会がないので、見てみたいです。
ところで、フタリシズカは今年まだお目にかかっていませんので、
残念ながら、明日の花はフタリシズカではありません。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
ヒトリシズカは此方でも見た記憶がありません。
写真の花はキビヒトリシズカです。これもなかなか見られません。

樹☆  
No title

キビヒトリシズカというのですね。
またひとつ賢くなりました^^
ありがとう♬

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
普通のヒトリシズカは見る機会がありません。
キビヒトリシズカだけ花の文化園で見ることができました。