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[答734] 44の倍数の個数

ヤドカリ

ヤドカリ



[答734] 44の倍数の個数


 1,2,3,4,5,6,7,8,9 を1つずつ使ってできる9桁の自然数は、9!=362880 個あります。

 そのうち、44の倍数は何個?


[解答]

 44の倍数であるためには、11の倍数 かつ 4の倍数であればよいことになります。

 □■□■□■□■□ と、9桁の数を表す場合、11の倍数になる必要十分条件は、

 4個の■の数字の和をA ,5個の□の数字の和をB とするとき、A-B が 11の倍数であることです。

 A-B=11k とすれば A+B=45 だから、A=(45+11k)/2 ,B=(45-11k)/2 になり、

 1+2+3+4≦A≦6+7+8+9 、10≦A≦30 だから、 k=±1 で、(A,B)=(28,17),(17,28) です。

 ■の数4個を並べると、{ 4,7,8,9 },{ 5,6,8,9 },{ 1,2,5,9 },{ 1,2,6,8 },

 { 1,3,4,9 },{ 1,3,5,8 },{ 1,3,6,7 },{ 1,4,5,7 },{ 2,3,4,8 },

 { 2,3,5,7 },{ 2,4,5,6 } の 11通りあります。

 次に、4の倍数になる必要十分条件は、下2桁が 4の倍数であることです。

 言い換えると、十の位が奇数のとき 一の位は 2,6 、十の位が偶数のとき 一の位は 4,8 です。

 ■の数4個のうち1個が十の位、■の数4個以外の数のうち1個が一の位であることに注意して

 下2桁を書きだしました。全部で 51通りあります。

 { 4,7,8,9 },{ 1,2,3,5,6 } ⇒ 72,76,92,96 の4通り
 { 5,6,8,9 },{ 1,2,3,4,7 } ⇒ 52,92,64,84 の4通り
 { 1,2,5,9 },{ 3,4,6,7,8 } ⇒ 16,56,96,24,28 の5通り
 { 1,2,6,8 },{ 3,4,5,7,9 } ⇒ 24,64,84 の3通り
 { 1,3,4,9 },{ 2,5,6,7,8 } ⇒ 12,16,32,36,92,96,48 の7通り
 { 1,3,5,8 },{ 2,4,6,7,9 } ⇒ 12,16,32,36,52,56,84 の7通り
 { 1,3,6,7 },{ 2,4,5,8,9 } ⇒ 12,32,72,64,68 の5通り
 { 1,4,5,7 },{ 2,3,6,8,9 } ⇒ 12,16,52,56,72,76,48 の7通り
 { 2,3,4,8 },{ 1,5,6,7,9 } ⇒ 36 の1通り
 { 2,3,5,7 },{ 1,4,6,8,9 } ⇒ 36,56,76,24,28 の5通り
 { 2,4,5,6 },{ 1,3,7,8,9 } ⇒ 28,48,68 の3通り

 十の位と一の位が決まれば、■の数の入れ方が 3! 通り、□の数の入れ方が 4! 通りだから、

 総数は、51・3!・4!=7344 個あります。


[参考]

 たけちゃんさんのコメントにより、他の数の倍数の個数について、PCに計算させました。

 そのうち、100の倍数までを表にしたのが上に掲げたものです。

 もちろん、10の倍数はありませんので除きました。

 44の倍数の個数と49の倍数の個数が一致するのは不思議です。

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Comments 15

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ニリンソウ  
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これも珍しい花ですね。
蔓性のようです。 花の文化園は有料ですか?
あまりよく通われるようなので。

ナイス

tsuyoshik1942  
No title

「解答」と同じ道を歩んだのですが、4個の組の和が28となる(4789),(5689)を見落とし、
大きく出遅れました。

樹☆  
No title

おはようございます
こちらは朝から雨になりました。

独特な色をしたお花ですね。。ナイスです

こっこちゃん  
No title

こんにちは!(^^)!

オレンジ色で 元気な花ですね

周りが華やかですよね ナイス☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
同じでしたぁ ^^
こういう問題は...いかに効率よく考えるかってことですね ^^;
結構時間かかりましたわ…Orz

44と49の倍数が同じってのが気になってます…☆

さっちゃんこ  
No title

今日は
とても珍しい花のようですがカレーバインでしょうか
カレーの匂いがする花ですよね
蔓性で花が不気味に思えるくらい一杯付きますね

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
写真の花はビグノニア(釣鐘葛)です。
都市緑化センターの前に毎年たくさんの花をつけます。
なお、花の文化園は有料ですが、年間パスポートがあります。
パスポートを持っていると、何度でも行けます。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
このような問題は、場合を1つでも見落とすと大変なことになります。
私も自分なりに解いて、プログラムで確認しました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
こちらも昼頃から雨になりました。
写真の花はビグノニア(釣鐘葛)です。
カレーのような色と香りが特徴です。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難うございます。
光のあたっている時に撮りましたのでオレンジ色に見えますが、
茶色の方が近い色です。
カレーに似た色と香りです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
効率よく、しかも抜けがないように調べる問題です。
44と49の倍数の個数が同じなのは私も気になります。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
カレーバインという名前は知りませんでした。
調べてみるとそんな名前でも呼ばれているのですね。
私にとっては毎年見る花ですが、珍しいようですね。

樹☆  
No title

カレーの香り?お夜食にカレー食べたくなりました。

加齢臭はやだけど^m^

ヤドカリ  
No title

> 2014/5/12(月) 午後 11:46の内緒様
ご指摘を有難うございます。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、再度のコメントを有難うございます。
○○臭には触れないできたのですが……。