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[答735] 半円の面積比

ヤドカリ

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[答735] 半円の面積比


 図のように、ABを直径とする半円があります。

 この半円の円弧上に、∠PAB=θ であるように点Pをとり、

 次に、ABの一部を直径とするように PA,PBに接する半円を描きます。

 θ=9゚ のとき、大きい半円の面積は小さい半円の面積の何倍?


[解答]

 大きい半円の半径を R,小さい半円の半径を r とすれば、求める値は (R/r)2 です。

 2△PAB=PA・PB=PA・r+PB・r 、PA=2Rcosθ,PB=2Rsinθ だから、

 (2Rcosθ)(2Rsinθ)=(2Rcosθ)r+(2Rsinθ)r 、2Rcosθsinθ=(cosθ)r+(sinθ)r 、

 R/r=(cosθ+sinθ)/(2cosθsinθ)=(cosθ+sinθ)/sin2θ 、

 (R/r)2=(cosθ+sinθ)2/sin22θ=(1+sin2θ)/sin22θ です。

 本問では、θ=9゚ だから、(R/r)2=(1+sin18゚)/sin218゚ 、

 https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-976.html より、sin18゚=(√5-1)/4 だから、

 (R/r)2=4(4+4sin18゚)/(4sin18゚)2=4(4+√5-1)/(√5-1)2=4(3+√5)(√5+1)2/{(√5-1)(√5+1)}2

  =(3+√5)(6+2√5)/4=(3+√5)2/2=(14+6√5)/2=7+3√5 です。


[参考]

 PB=2Rsinθ また PB=r+r・tanθ だから、2Rsinθ=r+r・tanθ 、

 R/r=(1+tanθ)/(2sinθ)=(1/sinθ+1/cosθ)/2=(sinθ+cosθ)/(2sinθcosθ)

 としても同じ結果を得ます。

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Comments 14

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ニリンソウ  
No title

おはようございます!
シランの白淡くピンクが初々しくていいですね。
今日は真夏日になりそうでしょう・・お元気で。

ナイス

樹☆  
No title

おはようございます
やどかりさんのデジカメにはたくさんの
お花たちが出番を待ってるのでしょうか。
淡い色も可愛いくていいですね。ナイス

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
白のシラン綺麗ですネ
真っ白にホンノリピンクも点しているのですネ
清純な乙女のイメージに見えます
ナイス☆彡

アキチャン  
No title

おはようございます。
この色のはまだ見たことがありません。
印象的ですね(o^-^o)

Yasuko  
No title

░ฺ|◕ฺΘ◕ฺ)ノこんにちわ~

暑くなってきました(゜ー゜*)ネッ!

シラン~白にほんのりピンク綺麗です(*^^*)

(≧∇≦)bポチ~~ン

tsuyoshik1942  
No title

「解答」の右下の図と同じく小円の中心から、AP,BPへ垂線を降ろしました。
その後、「参考」および「解答」より遠回りをしましたが、最終的には、18度の三角比の値を用い答を得ました。
正弦定理と余弦定理は、最近は空で使えるようになったのですが、加法定理、半角、倍角、和積...は、相変わらず公式集をなぞるだけです。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
わたしゃ…sin18°の値をPCで求めましたが…^^;
5次方程式でしたわぁ…解けるものもあるのねぇ☆
ある意味凄い問題ですね ^^;…Orz~

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
シロバナシランですが、少しピンクがかかっていました。
淡い色の花はいいものです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
デジカメの画像をPCに写したのがたくさん眠っています。
花の多い季節は使い切れません。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
紫のシランよりシロバナシランの方が優しい色合いで好きです。
清純な感じがしますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
シロバナシランを見られたことがないのですか?
あまり見られませんが、たまに出会います。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとナイス!を有難うございます。
他の所でも見たことがありますが、この時期に長居植物園にたくさん咲いています。
これを楽しみにして行きました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
三角関数の公式は多いですね。
忘れて導いているうちに、私は覚えました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
15゚の倍数と18゚の倍数の三角比はいつでも使えるようにしておきたいものですね。