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[答736] 目の和が5の倍数

ヤドカリ

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[答736] 目の和が5の倍数


 サイコロをn回投げて出た目の和が5の倍数になる確率を Pn とするとき、 P2=? また、P5=?

 サイコロを投げるとき、1~6の目が均等に出るものとします。


[解答1]

 r=0,1,2,3,4 のとき、

 サイコロを n 回投げたときの目の和を5で割った余りが r である確率を pn(r) とし、

 便宜的に、r がこれ以外の整数に対しても、 pn(r±5)=pn(r) と定義します。

 pn+1(r+1)=pn(r)/6+pn(r-1)/6+pn(r-2)/6+pn(r-3)/6+pn(r-4)/6+pn(r-5)/6

  =pn(r)/6+{pn(r-1)+pn(r-2)+pn(r-3)+pn(r-4)+pn(r-5)}/6=pn(r)/6+1/6

 a=1,2,3,4 として、

 r を a+n に書き換えれば 漸化式 pn+1(a+n+1)=pn(a+n)/6+1/6 を得、

 初期条件 p1(a+1)=1/6 だから、pn(a+n) は等しくなります。

 また、pn+1(n+1)=pn(n)/6+1/6 ,pn+1(a+n+1)=pn(a+n)/6+1/6 より、

 pn+1(n+1)-pn+1(a+n+1)={pn(n)-pn(a+n)}/6 より、

 pn(n)-pn(a+n)={p1(1)-p1(a+1)}/6n-1=(2/6-1/6)/6n-1=1/6n になります。

 pn(n)+pn(1+n)+pn(2+n)+pn(3+n)+pn(4+n)=1 だから、  

 5pn(a+n)+1/6n=1 、pn(a+n)=(6n-1)/(5・6n) 、

 pn(n)=pn(a+n)+1/6n=(6n+4)/(5・6n) になります。

 従って、pn(r) は n-r が5の倍数であるか否かで、

 5の倍数のとき pn(r)=(6n+4)/(5・6n) 、5の倍数でないとき pn(r)=(6n-1)/(5・6n) になります。

 P2=p2(0)=(62-1)/(5・62)=7/36 、 P5=p5(0)=(65+4)/(5・65)=389/1944 です。


[解答2]

 サイコロをn回投げて全部が1の目が出る場合の数は 1 通りで、確率は 1/6n で、

 nが5の倍数であれば和も5の倍数であり、5の倍数でなければ和も5の倍数でありません。

 1の目以外が少なくとも1回出る場合の数を、

 1以外の最初の目がだけが異なり 他の目がすべて同じ出方をセットにして考えれば、

 異なる目は 2,3,4,5,6 ですので、その5通りの和を5で割った余りは 0,1,2,3,4 です。

 よって、5で割った余りが 0,1,2,3,4 の場合が同数あることが分かります。

 つまり、1の目以外が少なくとも1回出て 5で割った余りが 0,1,2,3,4 である確率はすべて、

 (6n-1)/5/6n=(6n-1)/(5・6n) です。

 よって、nが5の倍数であれば、Pn=(6n-1)/(5・6n)+1/6n=(6n+4)/(5・6n) 、

 nが5の倍数でなければ、Pn=(6n-1)/(5・6n) です。

 P2=(62-1)/(5・62)=7/36 、 P5=(65+4)/(5・65)=389/1944 です。

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Comments 14

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます
杜若でしょうか
私にはあやめ科の花は区別が難しいです

淡いブルーの色が綺麗ですネ
ナイス☆彡

アキチャン  
No title

おはようございます。
綺麗ですね~♪ この色もいいですね(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解法2]の発想ができないのがもどかしい…^^;
またもや...安易な計算に逃げてしまいました…Orz~

ちなみに…6^nが下付けになってますよぉ~^^

tsuyoshik1942  
No title

「解答1,2」とも、一度ならず何度か読ませていただきました。
ただ、力不足で、まだ「わかった!」とは言いがたいところです。
自分はr(0,1,2,3,4)を列項目に、行項目にn(1,2,3.....)の表を作り、漸化式風にnの増加に伴って表を埋めていきました。
そして、その結果から、解答に示させている一般解「Pn(r)]を推定しました。

ニリンソウ  
No title

池端のカキツ?
花菖蒲かな、またまたアヤメかな?

ナイス

たけちゃん  
No title

[解答2]で解きました.

サイコロの目は1~6なので,和が「7の倍数」である確率ならば,
1,2,3,4,5,6が対等であることから,比較的考えやすく,
それと比べると,「5の倍数」はやや考えにくいかもしれません.

もし,サイコロの目が0~5であれば,1,2,3,4が対等なので,
「5の倍数」である確率も考えやすくなるような気がします.
この場合,5の倍数となる場合の数は,余りが1,2,3,4である場合より,
つねに1通りだけ多くなります.

実際のサイコロでは,目が0~5の場合と比べ,回数分だけ和が大きくなるので,
P[2]については,(6^2-1)/5通り(つまり7通り)が5の倍数,
P[5]については,(6^5-1)/5+1通り(つまり1556通り)が5の倍数となりますね.

樹☆  
No title

こんにちは~
一度菖蒲とカキツバタの違いお勉強して・・
そのときは理解できてたような。。笑
白い花は水の中でもすてき。。
先に見える赤いのが気になるわたしです。ナイス

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
多分カキツバタです。
アヤメは水中から咲きませんし、花菖蒲は此方ではこの時期にはまだ咲きません。
薄いブルーが印象的でした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
薄い色の花はなんとなく落ち着きます。私にとっても好きな色です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントとタグのミスの指摘を有難うございます。
早速直しました。
工夫できるところが面白いですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
[解答1]は漸化式を使って解いてみました。
[解答2]が想定解です。こちらのほうが理解しやすいと思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
カキツバタだと思います。
実は背後に花菖蒲園があってまだ全然咲いていませんでした。
当方では花菖蒲は下旬から来月にかけてですので区別できます。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難うございます。
ご指摘の点はスモークマンさんへのリコメの途中で見つけて直しました。
実はその時にもう1ヶ所助詞の間違いもあり、直しました。
ところで、
仰るとおり、5の倍数は7の倍数より少し扱いが難しいですが、
P(2)が問題番号に合ったので、応用としてP(5)を加えました。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
花菖蒲と比べ、カキツバタの特徴としては、早く咲くことと葉の幅が広いことでしょうか。
ところで、
後方の赤いのは睡蓮の葉の裏です。
反り返っている葉がたくさんありました。