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[答737] 小数部分との積が自然数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答737] 小数部分との積が自然数


 15 未満の正の数で、その数自身とその小数部分との積が自然数になる最大の数は?


[解答]

 求める数を n+x (nは整数,0≦n≦14,0<x<1) とし、(n+x)x=k (kは自然数) とします。

 f(x)=(n+x)x-k とすれば、f(0)=-k<0 だから、

 f(1)>0 であることが、0<x<1 を満たす x が存在することと同値です。

 従って、n+1-k>0 ,k<n+1 ,k≦n になります。

 また、(n+x)x=k より、(x+n/2)2=k+n2/4 となり、x+n/2=√(k+n2/4) 、x=-n/2+√(k+n2/4) 、

 n を固定すると、この x の値を最大にする k の値は k=n だから、

 x=-n/2+√(n+n2/4) 、x+n=n/2+√(n+n2/4) 、

 これを最大にするのは n=14 のときで、x+14=7+3√7 です。

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Comments 14

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ひとりしずか  
No title

キショウブでしょうか?
ショウブ・アヤメ・カキツバタ区別がいまいち分からないです。

現在8℃、快晴さわやかな朝です

アキチャン  
No title

おはようございます。
最近、黄色いのを見るの少ないかしら(o^-^o)

tsuyoshik1942  
No title

「解答」と同じ道筋で答を得ました。
もっとも、問題を読んだ第一印象は、答は仮分数、少なくとも有理数と思ったのですが、見事に外れました。

Yasuko  
No title

░ฺ|◕ฺΘ◕ฺ)ノこんにちわ~

私も、区別がいまいちわからない(^_^;)

今日も、暑いですね。

(≧∇≦)bポチ~~ン

さっちゃんこ  
No title

今日は
黄菖蒲でしょうか
とても綺麗ですネ
ビタミンカラーら元気を貰えますね

ナイス☆彡

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これも…PCにやらせちゃいましたけど…^^;
論理的な式変形だけで、求められるんですねぇ☆
無理数にはこんな不思議な現象が起こるんですねぇ♪
たぶん...元の数とその小数部分のk乗との積がその整数部分になるものもあるはずね ^^…

ちなみに…
x(x-1)=1,0<x-1<1 のとき…
x=1/2 (1+√5)・・・黄金比 !!

x*(x-1)^2=1, 0<x-1<1 のとき…
x=1/3 (2+(25/2-(3√69)/2)^(1/3)+(1/2 (25+3√69))^(1/3))

x*(x-1)^3=1, 0<x-1<1 のときは…
複雑すぎて書けましぇん…^^;…Orz~

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ショウブ・アヤメ・カキツバタ区別は難しいですね。
此方では今咲いているのがアヤメやカキツバタで、ハナショウブはまだです。
ショウブはこのキショウブだけです。
アヤメとカキツバタは中央の模様と咲く場所(水際か否か)でわかります。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難うございます。
今の時期は白い花が目立ちます。
でも、黄色の花も多いですよ。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
求める数を x とするより n+x とするほうが、
小数部分の条件を使いやすいと思います。
そのようにおけば、だいたい同じような解き方になりますね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとナイス!を有難うございます。
黄菖蒲に元気がなくなってきた頃に、花菖蒲ですね。
あとはアヤメかカキツバタ、
花びらの付け根の部分が網目になっているのがアヤメ、
花びらの付け根の部分が白いスジになっているのがカキツバタですね。
水辺から離れているのがアヤメ、水際がカキツバタと言ってもほとんど間違いないです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
黄菖蒲の黄色が今よく目に付きます。
群生し、葉の緑とのコントラストが鮮やかだからでしょう。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
貴殿はよく問題に関連した難しいことを考えますね。
x*(x-1)^n=1 なんて、n≧3 になれば中々解けるものではありません。

ニリンソウ  
No title

キショウブが掘で咲いていました。
今度足を止めて撮ってみよう。 いずれがアヤメかカキツバタってホントに区別が解らないですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
キショウブの最盛期が過ぎ、あまり見られなくなると、次は花菖蒲です。
昨年までもキショウブの写真を撮っていたのですが、
使わない間に時期が過ぎてしまいました。