[答737] 小数部分との積が自然数
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[答737] 小数部分との積が自然数
15 未満の正の数で、その数自身とその小数部分との積が自然数になる最大の数は?
[解答]
求める数を n+x (nは整数,0≦n≦14,0<x<1) とし、(n+x)x=k (kは自然数) とします。
f(x)=(n+x)x-k とすれば、f(0)=-k<0 だから、
f(1)>0 であることが、0<x<1 を満たす x が存在することと同値です。
従って、n+1-k>0 ,k<n+1 ,k≦n になります。
また、(n+x)x=k より、(x+n/2)2=k+n2/4 となり、x+n/2=√(k+n2/4) 、x=-n/2+√(k+n2/4) 、
n を固定すると、この x の値を最大にする k の値は k=n だから、
x=-n/2+√(n+n2/4) 、x+n=n/2+√(n+n2/4) 、
これを最大にするのは n=14 のときで、x+14=7+3√7 です。
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