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[答738] 碁石の並べ方

ヤドカリ

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[答738] 碁石の並べ方


 白黒の碁石、合計10個を1列に並べる方法は 210=1024通りありますが、

 そのうち、白石も黒石も2個以上連続して並ぶところがあるような並べ方は何通り?


[解答1]

 ●2個,〇8個の場合、9通り、

  -〇-〇-〇-〇-〇-〇-〇-〇- の - の所1ヶ所に ●● を入れる 9通り、

 ●3個,〇7個の場合、8+56=64通り、

  -〇-〇-〇-〇-〇-〇-〇- の - の所1ヶ所に ●●● を入れる 8通りと、
  -〇-〇-〇-〇-〇-〇-〇- の - の所2ヶ所に ●●,● を入れる 8・7=56通り、

 ●4個,〇6個の場合、7+21+42+105=175通り、

  -〇-〇-〇-〇-〇-〇- の - の所1ヶ所に ●●●● を入れる 7通りと、
  -〇-〇-〇-〇-〇-〇- の - の所2ヶ所に ●●,●● を入れる 72=21通りと、
  -〇-〇-〇-〇-〇-〇- の - の所2ヶ所に ●●●,● を入れる 7・6=42通りと、
  -〇-〇-〇-〇-〇-〇- の - の所3ヶ所に ●●,●,● を入れる 7・62=105通り、

 ●が〇より多い場合も同様、

 ●5個,〇5個の場合、6+30+30+60+60+60-4=242通り、

 -〇-〇-〇-〇-〇- の - の所1ヶ所に ●●●●● を入れる 6通りと、
 -〇-〇-〇-〇-〇- の - の所2ヶ所に ●●●,●● を入れる 6・5=30通りと、
 -〇-〇-〇-〇-〇- の - の所2ヶ所に ●●●●,● を入れる 6・5=30通りと、
 -〇-〇-〇-〇-〇- の - の所3ヶ所に ●●●,●,● を入れる 6・52=60通りと、
 -〇-〇-〇-〇-〇- の - の所3ヶ所に ●,●●,●● を入れる 6・52=60通りと、
 -〇-〇-〇-〇-〇- の - の所4ヶ所に ●●,●,●,● を入れる 6・53=60通り、
 ただし、〇-〇-〇-〇-〇 の - の所4ヶ所に ●●,●,●,● を入れる 4通りを除く、

 よって、2(9+64+175)+242=738 通りです。


[解答2]

 まず、●が連続しない並べ方は、右端に注目すると、………〇 or ……〇● です。

 つまり、●が連続しないように9個並べて〇 か 8個並べて〇● です。

 従って、●が連続しないようなn個の並べ方をF(n)通りとすれば、F(10)=F(9)+F(8) です。

 1個の場合は、〇 or ● で、F(1)=2 、 2個の場合は、〇〇 or 〇● or ●〇 で、F(2)=3 、

 あとは、F(10)=F(9)+F(8) と同様に、

 F(3)=F(2)+F(1)=5,F(4)=F(3)+F(2)=8,F(5)=F(4)+F(3)=13,F(6)=F(5)+F(4)=21,

 F(7)=F(6)+F(5)=34,F(8)=F(7)+F(6)=55,F(9)=F(8)+F(7)=89,F(10)=F(9)+F(8)=144 です。

 よって、●が連続しない並べ方は、144 通り、同様に、○が連続しない並べ方も 144 通りです。

 ○も●も連続しない並べ方は、○●○●○●○●○●,●○●○●○●○●○ の 2 通りですので、

 ○または●が連続しない並べ方は 144+144-2=286 通り、

 ○も●も連続する並べ方は 1024-286=738 通りです。

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Comments 12

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
真っ白のオダマキがとても綺麗ですね♪
清純な乙女のようです


ナイス♪

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」の「全体数-不適な数」方式でした。
144を得た後、見えていた答「738」がなければ、重複する2通りを見逃したと思います。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これまた、解法2のエレファントバージョンで…^^;
わたしも...重複してることに気付けなかったと思います…Orz~

uch*n*an  
No title

私は二つの方法で解きました。
(解法1)が[解答1]の方向,ただし漸化式,(解法2)が[解答2]の方向,ただし H を使った計算,でした。
具体的な解き方が[解答]と真逆になったのも面白いです。
最初問題文があいまいでそちらに気を取られ解いてから気付きましたが,
よくあるお相撲さんが連敗しない(又は連勝しない)場合の数の応用問題で,
フィボナッチがらみでしたね。

ニリンソウ  
No title

これもいいね、うちの白とも違うし
勝手に交配繰り返すんでしょうね~上見て咲くし
明るい印象の花好きですよ。

ナイス

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
撮ってほしいと言っているような姿で咲いていました。
白い花は「清純」という言葉とも合いますね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
重複する2通りは見逃しやすいですね。
そういった意味では、[解答1]のような単純な解き方も大切です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
重複している場合が数えやすいので楽ですね。
数えやすいのが却って見逃しやすいものになるのでしょう。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
「白石も黒石も2個以上連続して並ぶ」の否定を考えると、
「白石または黒石が2個以上連続しない」と考えて、
最初の表現になりましたが、言葉というのは難しいものです。
ところで、フィボナッチはよく出現する割には、一般項が複雑です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
撮り易いような咲き方をしてくれていました。
ところで、同じ白い花でも、花の白色は微妙に雰囲気が違います。
光の当たり具合でも感じが違ってきますね。

樹☆  
No title

オダマキですか?
わたしの知ってるのと違うような。。
たくさんの色も形もありますね^^ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
白いスッキリした色の西洋苧環でした。
色んな色がありますね。