[答739] ３辺が整数の三角形の面積

[答739] ３辺が整数の三角形の面積


　AB＝AC＝20，BC＝67/2 である △ABCの 辺BC上に点Pをとり、３辺が整数の三角形ABPをつくるとき、

　△ABPの面積は？


[解答]

　BP＝x，AP＝y とします。また、BCの中点をMとすれば、BM＝67/4 です。

　AM²＝AB²－BM²＝(AB＋BM)(AB－BM)＝(20＋67/4)(20－67/4)＝147･13/16 、

　AM＝(7√39)/4 になり、△ABP＝(1/2)BP･AM＝(7√39)x/8 です。

　AM²＝AP²－PM²＝y²－(x－67/4)²＝(y＋x－67/4)(y－x＋67/4) だから、

　(y＋x－67/4)(y－x＋67/4)＝147･13/16 、(4y＋4x－67)(4y－4x＋67)＝3･7²･13 です。

　AP＋BP＞AB より、y＋x＞20 、4y＋4x－67＞13 、AP－BP＜AB より、y－x＜20 、4y－4x＋67＜147 、

　また、4y＋4x－67≡1，4y－4x＋67≡－1 (mod 4) に注意すれば、

　よって、(4y＋4x－67，4y－4x＋67)＝(3･7，7･13)，(7²，3･13)＝(21，91)，(49，39) 、

　(4y＋4x，4y－4x)＝(88，24)，(116，－28) 、(y＋x，y－x)＝(22，6)，(29，－7) 、

　(x，y)＝(8，14)，(18，11) となって、△ABP＝(7√39)x/8＝7√39，(63√39)/4 です。

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