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[答739] 3辺が整数の三角形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答739] 3辺が整数の三角形の面積


 AB=AC=20,BC=67/2 である △ABCの 辺BC上に点Pをとり、3辺が整数の三角形ABPをつくるとき、

 △ABPの面積は?


[解答]

 BP=x,AP=y とします。また、BCの中点をMとすれば、BM=67/4 です。

 AM2=AB2-BM2=(AB+BM)(AB-BM)=(20+67/4)(20-67/4)=147・13/16 、

 AM=(7√39)/4 になり、△ABP=(1/2)BP・AM=(7√39)x/8 です。

 AM2=AP2-PM2=y2-(x-67/4)2=(y+x-67/4)(y-x+67/4) だから、

 (y+x-67/4)(y-x+67/4)=147・13/16 、(4y+4x-67)(4y-4x+67)=3・72・13 です。

 AP+BP>AB より、y+x>20 、4y+4x-67>13 、AP-BP<AB より、y-x<20 、4y-4x+67<147 、

 また、4y+4x-67≡1,4y-4x+67≡-1 (mod 4) に注意すれば、

 よって、(4y+4x-67,4y-4x+67)=(3・7,7・13),(72,3・13)=(21,91),(49,39) 、

 (4y+4x,4y-4x)=(88,24),(116,-28) 、(y+x,y-x)=(22,6),(29,-7) 、

 (x,y)=(8,14),(18,11) となって、△ABP=(7√39)x/8=7√39,(63√39)/4 です。

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Comments 17

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アキチャン  
No title

おはようございます。
花びらがハート♪ ピンク色綺麗ですね(o^-^o)

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
蔓薔薇でしょうか
優しいピンクの色が良いですネー
優しさの溢れるピンクの薔薇 素晴しいです
ナイス☆彡

ニリンソウ  
No title

原種に近い薔薇ですね「ローズヒップ」?
大好きでしたが肥料のやりすぎで枯らしてしまいました。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
上手く解けるものですね☆
わたしゃ…またもやもや…PCにてめんご ^^; Orz~
この考え方からすると...どんな二等辺三角形でもヘロンの△が存在しますね♪

tsuyoshik1942  
No title

本題は、わりと早く解け(?)ました。
ただし、その時点で既に、解答コメントの送信カウントが有り、急ぐ理由がなかったのに、検算をすることもなく、直ちに解答送信をしました。
朝食後、チェックしたら、間が悪く、早速にヤドカリさんの回答コメントがあり、間違いを指摘されてしまいました。

自分は、二つの余弦定理から3辺を求め、そこからヘロンの公式で面積を得ました。3辺の整数値までは正解だったのですが、ヘロンの面積計算に誤りがありました。
「解答」の手法の方がより簡明でした。

樹☆  
No title

こんばんは
ノイバラでしょうか。。
一重だけど・・美しい姿です。
少女の頬のようにほんのり染めて。。ナイス

ヤドカリ  
No title


写真の花はサンショウバラです。
浜寺公園で見ました。
富士箱根地域の山地にだけ分布するそうです。
背後に写っている葉が山椒の葉と似ているので、
このように名付けられました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
花弁の色合いが素敵でした。
言われてみると、形もいいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
上に書きましたようにサンショウバラです。
優しそうなピンクの花が綺麗に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
富士箱根地域の山地に分布するそうで、原種だと思います。
素朴で美しいバラでした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
「どんな二等辺三角形でも」の飛躍が理解できないでいるのですが、
1辺が1の正三角形でもでしょうか?

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
3辺が整数だとヘロンの公式に食指が動きますね。
この場合は、答の確認(検算)に使えばいいと思います。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
上に書きましたように、サンショウバラです。
バラにはそれぞれの美しさがありますね。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
そっか…^^;
あるとしたら…頂角が60°超の場合しかありえませんですね…Orz...

ヤドカリ  
No title

> スモークマンさんへ ^^
等辺が 26 ,底辺が 20 の二等辺三角形の頂角は 60°より小さいですが、
底辺の端から 3 の所と頂点を結べば その長さは 25 になります。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
たしかに…^^;
どの辺も1以上のときは対なるもの(頂角が鈍角のときは底角が鋭角だから)が存在するわけですね…で...唯一重なるものは辺が1の正三角形のとき…そんな風に思いましたです ^^ Orz~

ヤドカリ  
No title

> スモークマンさんへ ^^
コメントの内容がよく理解できないのですが、
正三角形の場合は1辺が8のとき、8,3,7 または 8,5,7 の三角形ができますが、
それより小さい正三角形ではできません。