[答741] ３元の不定方程式

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[答741] ３元の不定方程式


　961a＋900b＋784c＝11111 を満たす自然数の組(a，b，c)＝？


[解答1]

　961a＝11111－(900b＋784c)≦11111－(900･1＋784･1)＝9427 、a≦9 です。

　また、961a＋900b＋784c＝11111 を４を法として考えれば a≡3 (mod 4) だから、a＝3，7 です。

　さらに、900b＝11111－(961a＋784c)≦11111－(961･3＋784･1)＝7444 、b≦8 です。

　a＝3 のとき 900b＋784c＝11111－961･3＝8228 、225b＋196c＝2057 になり、

　 ７を法として考えれば b≡6 (mod 7) 、b≦8 だから、b＝6 、c は自然数になりません。

　a＝7 のとき 900b＋784c＝11111－961･7＝4384 、225b＋196c＝1096 になり、

　 ７を法として考えれば b≡4 (mod 7) 、b≦8 だから、b＝4 、c＝1 になります。

　従って、(a，b，c)＝(7，4，1) です。


[解答2]

　961a＝11111－(900b＋784c)≦11111－(900･1＋784･1)＝9427 、a≦9 です。

　また、961a＋900b＋784c＝11111 を４を法として考えれば a≡3 (mod 4) だから、a＝3，7 です。

　さらに、784c＝11111－(961a＋900b)≦11111－(961･3＋900･1)＝7328 、c≦9 です。

　900b＝11111－961a－784c ですので、

　a＝3 のとき 900b＝11111－961･3－784c＝8228－784c 、c≦9 のとき 100の倍数になりません。

　a＝7 のとき 900b＝11111－961･7－784c＝4384－784c 、c＝1 のときだけ 100の倍数で、b＝4 です。

　従って、(a，b，c)＝(7，4，1) です。


☆ 平年では、31日の月が７ヶ月，30日の月が４ヶ月，28日の月が１ヶ月あり、

　日数を単純に加えると　31･7＋30･4＋28＝365　ですが、

　２乗して加えると　31²･7＋30²･4＋28²＝11111　になります。

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