[答741] 3元の不定方程式
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[答741] 3元の不定方程式
961a+900b+784c=11111 を満たす自然数の組(a,b,c)=?
[解答1]
961a=11111-(900b+784c)≦11111-(900・1+784・1)=9427 、a≦9 です。
また、961a+900b+784c=11111 を4を法として考えれば a≡3 (mod 4) だから、a=3,7 です。
さらに、900b=11111-(961a+784c)≦11111-(961・3+784・1)=7444 、b≦8 です。
a=3 のとき 900b+784c=11111-961・3=8228 、225b+196c=2057 になり、
7を法として考えれば b≡6 (mod 7) 、b≦8 だから、b=6 、c は自然数になりません。
a=7 のとき 900b+784c=11111-961・7=4384 、225b+196c=1096 になり、
7を法として考えれば b≡4 (mod 7) 、b≦8 だから、b=4 、c=1 になります。
従って、(a,b,c)=(7,4,1) です。
[解答2]
961a=11111-(900b+784c)≦11111-(900・1+784・1)=9427 、a≦9 です。
また、961a+900b+784c=11111 を4を法として考えれば a≡3 (mod 4) だから、a=3,7 です。
さらに、784c=11111-(961a+900b)≦11111-(961・3+900・1)=7328 、c≦9 です。
900b=11111-961a-784c ですので、
a=3 のとき 900b=11111-961・3-784c=8228-784c 、c≦9 のとき 100の倍数になりません。
a=7 のとき 900b=11111-961・7-784c=4384-784c 、c=1 のときだけ 100の倍数で、b=4 です。
従って、(a,b,c)=(7,4,1) です。
☆ 平年では、31日の月が7ヶ月,30日の月が4ヶ月,28日の月が1ヶ月あり、
日数を単純に加えると 31・7+30・4+28=365 ですが、
2乗して加えると 312・7+302・4+282=11111 になります。
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