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[答742] 軌跡の全長

ヤドカリ

ヤドカリ



[答742] 軌跡の全長


 AB=13,BC=24,CD=52,DA=29 の四角形ABCDが円に内接しています。

 (△PAB)(△PCD)=(△PBC)(△PDA) を満たすような四角形の内部の点Pの軌跡の全長は?


[解答1]

 ∠APB=α,∠BPC=β,∠CPD=γ,∠DPA=δ とすれば、

 (△PAB)(△PCD)=(△PBC)(△PDA) より、

 (1/2)PA・PB(sinα)・(1/2)PC・PD(sinγ)=(1/2)PB・PC(sinβ)・(1/2)PD・PA(sinδ) 、

 -2sinαsinγ=-2sinβsinδ 、cos(α+γ)-cos(α-γ)=cos(β+δ)-cos(β-δ) 、

 cos(α+γ)-cos(β+δ)=cos(α-γ)-cos(β-δ) 、

 -2sin{(α+γ+β+δ)/2}sin{(α+γ-β-δ)/2}=-2sin{(α-γ+β-δ)/2}sin{(α-γ-β+δ)/2} 、

 sinπsin{(α+γ-β-δ)/2}=-2sin{(2α+2β-2π)/2}sin{(2π-2γ-2β)/2} 、

 0=sin(α+β-π)sin(π-γ-β) 、sin(α+β)sin(β+γ)=0 、

 α+β=π または β+γ=π 、∠APC=π または ∠BPD=π 、

 よって、点Pは対角線AC または BD上にあることになり、点Pの軌跡の全長は AC+BD です。

 ∠ABC=θ とすれば、∠CDA=π-θ だから、余弦定理により、

 AC2=AB2+BC2-2AB・BCcosθ=745-624cosθ 、

 AC2=CD2+DA2-2CD・DAcos(π-θ)=3545+3016cosθ 、

 よって、745-624cosθ=3545+3016cosθ 、cosθ=-10/13 、

 AC2=745-624cosθ=745+624・10/13=1225 、AC=35 です。

 また、トレミーの定理より、AC・BD=AB・CD+BC・DA 、35・BD=13・52+24・29=1372 、BD=196/5 です。

 よって、点Pの軌跡の全長は AC+BD=35+196/5=371/5 です。


[解答2]

 まず、(△PAB)(△PCD)=(△PBC)(△PDA) と △PAB:△PBC=△PDA:△PCD は同値です。

 点Pが対角線AC上にあるとき、△PAB:△PBC=△PDA:△PCD=AP:PC だから成り立ちます。

 点Pが対角線AC上にないとき、直線BPとACの交点をQ,直線DPとACの交点をR とすれば、

 △PAB:△PBC=AQ:QC 、△PDA:△PCD=AR:RC だから、AQ:QC=AR:RC となって、

 Q,R は一致します。これは、Pが対角線BD上にあるときです。

 結局、点Pは対角線AC または BD上にあることになります。

 次に、四角形ABCDが円に内接するとき、対角線AC,BDの交点をOとすれば、

 OA:OC=△ABD:△CBD=AB・DA:BC・CD 、

 また、△OAD∽△OBC より OA:OB=AD:BC=AB・DA:AB・BC 、OD:OC=AD:BC=CD・DA:BC・CD 、

 まとめて、OA:OB:OC:OD=DA・AB:AB・BC:BC・CD:CD・DA です。

 DA・AB+BC・CD=x,AB・BC+CD・DA=y とおけば、AC:BD=x:y ですので、

 AC/BD=x/y,BD/AC=y/x になります。

 トレミーの定理により、AC・BD=AB・CD+BC・DA だから、AB・CD+BC・DA=z とおけば、AC・BD=z 、

 辺々乗じて、AC2=xz/y ,BD2=yz/x になります。

 本問では、x=29・13+24・52=13・125,y=13・24+52・29=13・140,z=13・52+24・29=1372=7・196 、

 AC2=13・125・7・196/(13・140)=25・49 ,BD2=13・140・7・196/(13・125)=196・196/25 、

 AC+BD=5・7+196/5=371/5 になります。

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Comments 20

There are no comments yet.
スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
方ベキの定理の式になるから対角線上だと思うも…
それ以外の点がないことがわからず…[解法1]のように直角を示すことで証明 ^^
対角線と円に内接する四角形だったから、トレミーの出番でしたのよね ^^;…思いつかず...まだ完全には毒されてない模様…^^…Orz~

ひとりしずか  
No title

賑やかなしずかちゃんですね~

庭のフタマタイチゲ二股は少ないみたい(まだ見つかっていない)
そういえばブロ友さんの記事で
ヒトリシズカの葉が5~8枚まであるのを見ました
ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

「解答2の前半」部分で、点Pが2本の対角線上に限定されることを確かめました。

対角線の長さは、余弦定理を使用しました。「解答1の後半」と同じですが、具体的には以下でした。
対角の余弦値が「cos(B)=-cos(D)およびcos(A)=-cos(C)」から
(24^2+13^2-AC^2)/(2*24*13)=-(29^2+52^2-AC^2)/(2*29*52)→AC^2=1225
(13^2+29^2-BD^2)/(2*13*29)=-(24^2+52^2-BD^2)/(2*24*52)→BD^2=1536.64

樹☆  
No title

こういう場合・・ふたり静3乗でしょうか。笑
可愛いお花です^^
そっと見ておきたい・・守ってたいと思いますね。

たけちゃん  
No title

軌跡が2本の対角線であることを示すのに手間取った,というか,
そもそも「対角線上のとき条件を満たす」ことに気付きませんでした.
最終的には[解答2]と同様の方法で,軌跡を得ましたが,
当初,Pの満たす条件を方程式で求めようと試み,大変な計算に迷い込み,
途中で「対角線上ならよい」に気付きましたが,大苦戦の1問でした.

関連題として,
「△PAB+△PCD=△PBC+△PDA を満たすような四角形の内部の点Pの軌跡はどんな図形か」
というのも面白いかもしれません.

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
2本のもありましたが、なんとなく貧弱で、この写真にしました。
名前はどうあれ、緑の中の白い花は素敵です。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
このフタリシズカも錦織公園の里の家の近くで見たものです。
いろいろ季節の植物が見られるいい公園です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
濃い緑の中の白い花を見ると爽やかに感じます。
そういう花が目立つ季節ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
こちらではたまに見かけることがあります。
フタリシズカという名前ですが、二本だけのほうが却って珍しいです。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
三角関数は形式的な計算で結論が出るのである意味楽ですね。
幾何の知識で繋げていくのは工夫が必要です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
名前通りでないこともよくあることですね。
でも、季節を知られてくれるのが嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
余弦定理で対角線を求めるのは、貴殿の方法もいいですね。
角度を求めておくと、経験的に、他の部分を求めるときに役立つことが多いので、
こんな発想の解答になりました。
こんな

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
「ふたり静3乗」の意味がよく分からず、ついていけないのですが、
こんな花が普通に見られる環境がほしいです。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難うございます。
貴殿の問題も興味ある問題ですね。
もし、もとの四角形が平行四辺形なら、内部の点すべてになるのも面白いです。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
わたしも...たけちゃんさんの提示問考えてみました…^^
対角線の中点を結ぶ直線になりますね?…
軌跡の長さは求まるのかどうかわからねど…^^;…Orz~

*ヤドカリさんが述べられてるように…
平行四辺形の場合は内部のすべての点になりますね☆ Aha!!

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
平行四辺形は対角線の中点が一致する場合ですね。

たけちゃん  
No title

スモークマンさんの解で正解ですね.
考えていただきありがとうございます.

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難うございます。
貴殿もブログを開設されたらいろんな問題を見られることでしょう。

uch*n*an  
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私は三つの方法で溶きました。
(解法2)は[解答2],(解法3)は[解答1],(解法1)は(解法2)のバリエーションでした。
確かにたけちゃんさんの問題も面白い,むしろこの方が興味深いかな,ですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
たけちゃんさんの問題も面白いのですが、
私も考えてみたのですが、いざ長さを求める問題にしようとすれば、
大変な計算になりそうです。
多分、座標を使うのが手っ取り早いと思いますが。