[答742] 軌跡の全長

[答742] 軌跡の全長


　AB＝13，BC＝24，CD＝52，DA＝29 の四角形ABCDが円に内接しています。

　(△PAB)(△PCD)＝(△PBC)(△PDA) を満たすような四角形の内部の点Pの軌跡の全長は？


[解答1]

　∠APB＝α，∠BPC＝β，∠CPD＝γ，∠DPA＝δ とすれば、

　(△PAB)(△PCD)＝(△PBC)(△PDA) より、

　(1/2)PA･PB(sinα)･(1/2)PC･PD(sinγ)＝(1/2)PB･PC(sinβ)･(1/2)PD･PA(sinδ) 、

　－2sinαsinγ＝－2sinβsinδ 、cos(α＋γ)－cos(α－γ)＝cos(β＋δ)－cos(β－δ) 、

　cos(α＋γ)－cos(β＋δ)＝cos(α－γ)－cos(β－δ) 、

　－2sin{(α＋γ＋β＋δ)/2}sin{(α＋γ－β－δ)/2}＝－2sin{(α－γ＋β－δ)/2}sin{(α－γ－β＋δ)/2} 、

　sinπsin{(α＋γ－β－δ)/2}＝－2sin{(2α＋2β－2π)/2}sin{(2π－2γ－2β)/2} 、

　0＝sin(α＋β－π)sin(π－γ－β) 、sin(α＋β)sin(β＋γ)＝0 、

　α＋β＝π または β＋γ＝π 、∠APC＝π または ∠BPD＝π 、

　よって、点Pは対角線AC または BD上にあることになり、点Pの軌跡の全長は AC＋BD です。

　∠ABC＝θ とすれば、∠CDA＝π－θ だから、余弦定理により、

　AC²＝AB²＋BC²－2AB･BCcosθ＝745－624cosθ 、

　AC²＝CD²＋DA²－2CD･DAcos(π－θ)＝3545＋3016cosθ 、

　よって、745－624cosθ＝3545＋3016cosθ 、cosθ＝－10/13 、

　AC²＝745－624cosθ＝745＋624･10/13＝1225 、AC＝35 です。

　また、トレミーの定理より、AC･BD＝AB･CD＋BC･DA 、35･BD＝13･52＋24･29＝1372 、BD＝196/5 です。

　よって、点Pの軌跡の全長は AC＋BD＝35＋196/5＝371/5 です。


[解答2]

　まず、(△PAB)(△PCD)＝(△PBC)(△PDA) と △PAB：△PBC＝△PDA：△PCD は同値です。

　点Pが対角線AC上にあるとき、△PAB：△PBC＝△PDA：△PCD＝AP：PC だから成り立ちます。

　点Pが対角線AC上にないとき、直線BPとACの交点をQ，直線DPとACの交点をR とすれば、

　△PAB：△PBC＝AQ：QC 、△PDA：△PCD＝AR：RC だから、AQ：QC＝AR：RC となって、

　Q，R は一致します。これは、Pが対角線BD上にあるときです。

　結局、点Pは対角線AC または BD上にあることになります。

　次に、四角形ABCDが円に内接するとき、対角線AC，BDの交点をOとすれば、

　OA：OC＝△ABD：△CBD＝AB･DA：BC･CD 、

　また、△OAD∽△OBC より OA：OB＝AD：BC＝AB･DA：AB･BC 、OD：OC＝AD：BC＝CD･DA：BC･CD 、

　まとめて、OA：OB：OC：OD＝DA･AB：AB･BC：BC･CD：CD･DA です。

　DA･AB＋BC･CD＝x，AB･BC＋CD･DA＝y とおけば、AC：BD＝x：y ですので、

　AC/BD＝x/y，BD/AC＝y/x になります。

　トレミーの定理により、AC･BD＝AB･CD＋BC･DA だから、AB･CD＋BC･DA＝z とおけば、AC･BD＝z 、

　辺々乗じて、AC²＝xz/y ，BD²＝yz/x になります。

　本問では、x＝29･13＋24･52＝13･125，y＝13･24＋52･29＝13･140，z＝13･52＋24･29＝1372＝7･196 、

　AC²＝13･125･7･196/(13･140)＝25･49 ，BD²＝13･140･7･196/(13･125)＝196･196/25 、

　AC＋BD＝5･7＋196/5＝371/5 になります。

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