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[答744] 外接円・内接円の半径と高さ

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答744] 外接円・内接円の半径と高さ


 △ABCの 外接円の半径を R,内接円の半径を r,BCを底辺とするときの高さを h として、

 R:r:h=32:7:15 のとき、辺の長さの比 BC:CA:AB=?


[解答1]

 BC=a,CA=b,AB=c,△ABC=S とします。

 2S=ah=(a+b+c)r だから、15a=7(a+b+c) 、8a=7(b+c) 、

 a/7=(b+c)/8=k とおけば、a=7k ,b+c=8k です。

 また、R:h=abc/(4S):2S/a=32:15 より 15abc/(4S)=64S/a 、15a2bc=256S2

 15a2bc=16(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) 、

 15・49k2bc=16・15k・k{a2-(b-c)2} 、49bc=16{49k2-(b-c)2} 、

 49{(b+c)2-(b-c)2}=64{49k2-(b-c)2} 、

 49{64k2-(b-c)2}=64{49k2-(b-c)2} 、(b-c)2=0 、

 b=c=4k になります。

 よって、BC:CA:AB=7k:4k:4k=7:4:4 です。


[解答2] uch*n*anさんの解答より

 正弦定理を用い,BC=2RsinA,CA=2RsinB,AB=2RsinC

 h=AB・sinB=2R・sinBsinC ,sinBsinC=h/(2R)=15/64,cos(B-C)-cos(B+C)=15/32 ,

 cosA=15/32-cos(B-C)

 次に,(BC+CA+AB)r/2=△ABC=BC・h/2,(2RsinA+2RsinB+2RsinC)r=(2RsinA)h,

 7(sinA+sinB+sinC)=15sinA ,8sinA=7(sinB+sinC) ,

 16sin(A/2)cos(A/2)=14sin{(B+C)/2}cos{(B-C)/2},8sin(A/2)cos(A/2)=7cos(A/2)cos{(B-C)/2},

 8sin(A/2)=7cos{(B-C)/2},64sin2(A/2)=49cos2{(B-C)/2},

 64(1-cosA)=49{1+cos(B-C)},64{1-15/32+cos(B-C)}=49{1+cos(B-C)},

 64-30+64cos(B-C)=49+49cos(B-C) ,15cos(B-C)=15 ,cos(B-C)=1

 B,C の範囲から,B-C=0 ,B=C です。

 そこで,sinB=sinC ,8sinA=7・2sinB ,sinA=(7/4)sinB となって,

 BC:CA:AB=sinA:sinB:sinC=(7/4)sinB:sinB:sinB=7:4:4 になります。

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Comments 14

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樹☆  
No title

おはようございます
まっすぐ伸びたシライトソウ・・やどかりさんみたいです。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
シライトソウと言うのですか
この花は余り見かけない花のようです
小さな花が一杯付いて真っ直ぐに伸びている姿は清楚な感じて綺麗ですネ
ナイス☆彡

アキチャン  
No title

おはようございます。
草花ですから、ブラシの木のように大きくないのでしょうか、白い糸のように軟らかそうですね(o^-^o)

Yasuko  
No title

.:*・✿ ✿.。.:*・ヾ(Ő‿Ő✿)ォハョォ✫゚*

私の好きなシライトソウです♪
清楚な感じがして~
文化園で撮らっれてきたのですか。

(≧∇≦)bポチ~~ン

tsuyoshik1942  
No title

「解答1」と調理素材は同じでした。その意味では、「解答1」もどきでした。

自分の計算過程には、二等辺三角形を示す(解答1におけるb-c=0、解答2におけるB-C=0)形が出てきませんでした。
これが出現する手法があるはずと思ったのですが、答を得たことに甘んじ、三角関数の使用も含め、更なる検討を怠りました。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これも計算力ないわたしにはきつくて…^^;
PCにさせましたぁ Orz~
ふつうは…解は図形的にも2個(左右対称という意味では1個か…)になりますよね ^^

ニリンソウ  
No title

シライトソウが涼しげですね。
山でも滅多に見れませんね~

ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
シライトソウは野の花の美しさを感じた花の1つです。
初めて見たのは群生で、その美しさに惹かれました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
こちらでは、見られる場所があって、この時期にそこへ行くと見られます。
けっこう遠いにで何年も行っていませんが……。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ブラシの木よりかなり小さいですが、大きい花の白い部分はけっこう長いです。
ただ、短いのでないと撮りにくいです。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
私にとっても好きな花です。
仰るとおり母の文化園で撮ったものですが、
一徳坊山や日野の方にたくさん咲いています。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
計算の工夫で納得できたら嬉しいものです。
たかが計算、されど計算です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
私は自分で計算しないと解けた気になりません。
この問題は形が特殊ですので、計算の工夫の余地があります。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
シライトソウの分布は偏っているのでしょうか。
よく見られる以外ではほとんど見られません。