[答749] ３つの三角形の分割

[答749] ３つの三角形の分割


　図のように長方形が３つの三角形に分割されています。

　長方形の上下の辺に平行な赤い線で３つの三角形を更に上下に分け、

　赤い線の上の部分の面積比が 21：112：27 であるとき、赤い線の下の部分の面積比は？


[解答1]

　縦の辺の、赤い線の上の部分と下の部分の比を x：(1－x) とします。

　下左図のように、左の薄緑色の部分を右側に移動して、水色と薄緑色の部分を併せて考えます。

　赤い線の上の部分の面積比は、

　{1－(1－x)²}：x²＝112：(27＋21) 、(2－x)：x＝7：3 、x＝3/5 で、

　赤い線の下の部分の面積比は、

　(1－x)²：(1－x²)＝(1－x)：(1＋x)＝2/5：8/5＝1：4 です。

　また、薄緑色と水色の部分の面積比は 21：27＝7：9 だから、

　求める面積比は、4･7/16：1：4･9/16＝7/4：1：9/4＝7：4：9 です。


[解答2]

　下中図のように、赤い線の上の部分と下の部分の真ん中に平行線を書き込めば、

　その線が三角形の辺で分けられる比が面積比と等しくなります。

　赤い線の上の部分の中央の線は、上から (21＋27)/(21＋112＋27)＝3/10 の所にあるので、

　赤い線の下の部分の中央の線は、上から 3/10＋1/2＝4/5 の所にあります。

　また、黄色の▽の下の頂点は下の辺を 21：27＝7：9 に分けるから、

　求める比は、7･4/5：(7＋9)(1－4/5)：9･4/5＝7/5：4(1－4/5)：9/5＝7：4：9 です。


[解答3]

　下右図のように、左右の辺と平行な線で区切り、面積を a，b，c，d とします。

　b：c＝21：27＝7：9 になり、

　a：(2b＋2c)：d＝21･2：(112－21－27)：27･2＝21：32：27 、a：(b＋c)：d＝21：16：27 なので、

　a：b：c：d＝21：7：9：27 です。

　求める面積比は、(a＋b)：(b＋c)：(c＋d)＝(21＋7)：(7＋9)：(9＋27)＝28：16：36＝7：4：9 です。

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