[答749] 3つの三角形の分割
[答749] 3つの三角形の分割
図のように長方形が3つの三角形に分割されています。
長方形の上下の辺に平行な赤い線で3つの三角形を更に上下に分け、
赤い線の上の部分の面積比が 21:112:27 であるとき、赤い線の下の部分の面積比は?
[解答1]
縦の辺の、赤い線の上の部分と下の部分の比を x:(1-x) とします。
下左図のように、左の薄緑色の部分を右側に移動して、水色と薄緑色の部分を併せて考えます。
赤い線の上の部分の面積比は、
{1-(1-x)2}:x2=112:(27+21) 、(2-x):x=7:3 、x=3/5 で、
赤い線の下の部分の面積比は、
(1-x)2:(1-x2)=(1-x):(1+x)=2/5:8/5=1:4 です。
また、薄緑色と水色の部分の面積比は 21:27=7:9 だから、
求める面積比は、4・7/16:1:4・9/16=7/4:1:9/4=7:4:9 です。
[解答2]
下中図のように、赤い線の上の部分と下の部分の真ん中に平行線を書き込めば、
その線が三角形の辺で分けられる比が面積比と等しくなります。
赤い線の上の部分の中央の線は、上から (21+27)/(21+112+27)=3/10 の所にあるので、
赤い線の下の部分の中央の線は、上から 3/10+1/2=4/5 の所にあります。
また、黄色の▽の下の頂点は下の辺を 21:27=7:9 に分けるから、
求める比は、7・4/5:(7+9)(1-4/5):9・4/5=7/5:4(1-4/5):9/5=7:4:9 です。
[解答3]
下右図のように、左右の辺と平行な線で区切り、面積を a,b,c,d とします。
b:c=21:27=7:9 になり、
a:(2b+2c):d=21・2:(112-21-27):27・2=21:32:27 、a:(b+c):d=21:16:27 なので、
a:b:c:d=21:7:9:27 です。
求める面積比は、(a+b):(b+c):(c+d)=(21+7):(7+9):(9+27)=28:16:36=7:4:9 です。
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