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[答750] 正五角形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答750] 正五角形の面積


 面積が 1 の正五角形の 隣り合う辺の中点どうしを結んでできる正五角形の面積をS,

 隣り合わない辺の中点どうしを結んでできる☆形の中央の正五角形の面積をT とするとき、

 S+T=?


[解答1]

 1辺の長さが 1 の正五角形の対角線の長さを x とすれば、トレミーの定理により、 x2=x+1 です。

 ( x=(1+√5)/2 です )

 もとの正五角形と求める正五角形の辺の比は 1:x/2 だから、 S=x2/4=(x+1)/4 です。

 求める正五角形と☆形の中央の正五角形の辺の比は 1:(1+1-x)=1:(2-x) だから、

 T=(2-x)2S=(4-4x+x2)S=(4-4x+x+1)S=(5-3x)S です。

 よって、

 S+T=S+(5-3x)S=3(2-x)S=3(2-x)(x+1)/4=3(-x2+x+2)/4=3(-x-1+x+2)/4=3/4 になります。


[解答2]

 もとの正五角形の1辺の長さを 2a とすれば、

 面積が S の正五角形の1辺は 2a・cos36゚ 、面積が T の正五角形の1辺は 2a・cos72゚ です。

 もとの正五角形との相似比は 1:cos36゚,1:cos72゚ だから、

 S=cos236゚=(1+cos72゚)/2 ,T=cos272゚=(1+cos144゚)/2 、

 S+T=1+(cos72゚-cos36゚)/2=1+{(√5-1)/4-(√5+1)/4}/2=1-1/4=3/4 です。


[解答3]

 下図のように、水色の三角形1個の面積をA,ピンクの三角形1個の面積をB とすれば、

 S=4A+3B ,T=S-5A=-A+3B ,4A+8B=1 だから、S+T=3A+6B=3(4A+8B)/4=3/4 です。

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Comments 20

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樹☆  
No title

おはようございます
タチアオイでしょうか。。
スクッと立ち姿はすごくきれいですね。
これから・・ムクゲ・芙蓉と似たお花が楽しみですね。

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
タチアオイが先端まで咲くと梅雨明けと聞いたことあります。 柔らかなピンクが美しいですね。

ナイス

アキチャン  
No title

おはようございます。
今、タチアオイがきれいですよね(o^-^o)
ピンク色がかわいいですね♪

さっちゃんこ  
No title

こんにちは♪
優しいピンクのタチアオイがとても綺麗ですね♪
今年はタチアオイの写真一枚も撮れませんでした!!

ナイス♪

こっこちゃん  
No title

このタチアオイ 花びらが変わっていますね

ピンクで 優しいですね

嬉しい優しさ貰えました 近頃天候も憂鬱だし 関白さんとの
やり取りに 何時もイライラです
此のタチアオイで優しさ取り戻さねばと思います ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」でした。
cos(36)値、そのものの記憶はありませんでしたが、特性値を持つことは覚えておりました。
「解答1」「解答3」ともに鮮やかですね!
特に、「解答3」に関しては、これを示唆するようなリコメを拝見したので、挑戦したのですが挫折しました。

Yasuko  
No title

(✿❛◡❛ฺฺ)ノぉはよぉ~❤

タチアオイ!優しいピンク✿
夏のお花ですね。

今日は、雨のようですね。

ナイス☆彡

uch*n*an  
No title

私は[解答1]でした。
[解答2]も気付いてはいましたが,三角関数を持ち出すまでもないだろう,と思いました。
結果を見て,[解答3]のような図形の分割埋め込みの解法がありそうだと思い考え,
図がないと説明しづらいので省略しますが,
元の五角形 - S - T = 元の五角形 * 1/4
を図的に示す方向でできたと思います。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしは[解答1+2]かなぁ…^^;
[解答3]のように分解できず…^^;;
これは鮮やかな初等幾何での解法ね♪
and...奇麗な"☆恋文折り☆"の連続意匠でしたのねぇ~~~☆☆☆

風 草  
No title

明るい陽ざしに淡いピンクのタチアオイの花が爽やかですね~

ナイス☆

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
タチアオイだけでなく、ムクゲや芙蓉もこれからですね。
いろんな花が次々と咲くのは嬉しいものです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
タチアオイが先端まで咲くと梅雨明けとは知りませんでした。
面白い見方ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
今がまさにタチアオイの季節で、時々見かけます。
タチアオイに限らず、ピンクの鼻は可愛いですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
「撮れませんでした!!」というのは、
もう其方ではタチアオイの季節は終わったということでしょうね。
タチアオイの花を思い出して頂いたのなら幸いです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントを有難うございます。
人に対する思いやりを思い出させてくれるのが花ですよね。
なかなか花のような人になれないです。(笑)

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
なるべく三角比のような高度な内容を使わずに解いたのが、[解答1][解答3]でした。
できるだけ工夫で、高度な内容と同等なことを導きたいです。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
今日は雨が降ったり止んだりでしたが、久しぶりに涼しくて助かりました。
タチアオイの含め植物にとっては恵みの雨だったかも知れません。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難うございます。
[解答2]は私の求める解答ではありませんでしたが、
多分、三角比を使う回答が多いのではと思って作りました。
[解答3]の図を思いついての出題です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
問題を見て、[解答3]を最初から思いつくのは難しいと思いますが、
答自体が単純なものになるので、何かありそうですね。

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!を有難うございます。
薄い半透明のような花弁に日光があたって撮りたくなりました。
背景の金網が邪魔でしたが、避けられませんでした。