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[答751] 菱形と内接円

ヤドカリ

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[答751] 菱形と内接円


 1辺の長さが一定の菱形とその内接円を描きます。

 菱形の内部で円の外部である部分の面積が最大になるように菱形を描くと、

 菱形の面積が 9 になりました。 このとき内接円の円周は?


[解答1]

 菱形の1辺を a,内接円の半径を r とし、菱形の内部で円の外部である部分の面積を S とします。

 菱形の面積は a・2r=2ar ,円の面積は πr2 だから、

 S=2ar-πr2=-π(r2-2ar/π)=-π(r-a/π)2+a2/π 、

 よって、r=a/π すなわち a=πr のとき S は最大になります。

 このとき、菱形の面積は 2ar=2a2/π=9 だから、4a2=18π、2a=3√(2π) です。

 円周の長さは 2πr=2a=3√(2π) です。


[解答2]

 菱形の1辺を a,内接円の半径を r とし、菱形の内部で円の外部である部分の面積を S とします。

 菱形の面積は a・2r=2ar ,円の面積は πr2 だから、

 S=2ar-πr2=r(2a-πr) になります。

 相加・相乗平均の関係により、√{πr(2a-πr)}≦{πr+(2a-πr)}/2 だから、

 √(πS)≦a 、πS≦a2 、S≦a2/π になります。

 等号が成り立つのは、πr=(2a-πr) すなわち a=πr のときで、

 菱形の面積は 2ar=2a2/π=9 だから、4a2=18π、2a=3√(2π) です。

 円周の長さは 2πr=2a=3√(2π) です。


☆ a=πr のとき、菱形の 面積は 2ar=2πr2 ,周囲は 4a=4πr だから、

 面積も周囲も内接円の2倍になります。

 簡単な問題ですが、不思議な関係を見つけました。

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Comments 19

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ひとりしずか  
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はじめて見るような~
何と言う花でしょう~
ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
アカンサスの様ですね♪
葉っぱはアザミの葉を大きくしたようで葉アザミとも呼ばれているようです
花弁に特徴があり面白い花ですね♪
ナイス♪

ニリンソウ  
No title

葉薊(はあざみ)毎年白山公園でみます。
笠の部分がもうすこし紫っぽいかな、背が高いですね。

ナイス

Yasuko  
No title

(✿❛◡❛ฺฺ)ノぉはよぉ~❤

あら~~なんと云う花でしょう。
見たことあるのですが名前が~~~?
出てこない、歳ですわ^_^;

ナイス☆彡

uch*n*an  
No title

私の解法も解答と同じ二通りでした。
☆は,周長は気付いていましたが,面積はうっかり見逃しました。
しかし,美しい関係ですね。

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」でした。もっとも、最初は、菱型の二つの対角線を持ち出し、それらとaおよびrの関係を操作し、大きく遠回りをしました。
☆には、まったく気づけていませんでした。

樹☆  
No title

これは何でしょう。
葉あざみとニリンソウさん♬
このお花ははじめて観ました。
やどかりさんちで・・はじめtてのお花多く
見られ嬉しいです。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答1]でしたが...面白い性質が顕現しましたね☆
最大面積の菱形の半分周長=内接円の円周 !! これは、πの新たな視覚表現になりますね♪ & 面積も倍の形の一つがこんな菱形になるってのも不思議☆ Aha ☆

アキチャン  
No title

こんにちわ。
名前は分からないですが、見たことがあるような…(o^-^o)

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^v2
ちなみに…
y軸中心の回転体の体積なんてのは求められるのでしょうか知らん…^^;
Orz~...

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
アカンサスの花です。
私もあまりみかけることがありません。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難うございます。
アカンサスをよくご存知ですね。
花弁は下向きで撮りにくかったのですが、面白い形をしています。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
ニリンソウさんはよく見られるのですか。
私は都市緑化センターでは見るのですが、他の場所では記憶がありません。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
私は都市緑化センターで見ました。
大きくて撮りにくいので、花をアップした写真を添えました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難うございます。
☆の内容をたまたま見つけ、問題にしました。
図形には今まで知らなかったこともいろいろあるのでしょうね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
易しい問題だったと思いますが、☆の内容を見つけたので紹介のため出題しました。
菱形を見ると描かれていなくても対角線がチラチラ見えますね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
私はアカンサスとしか知りませんでしたが、葉アザミとも言うのですね。
撮りにくい花ですので、去年に咲いていたときは撮りませんでしたが、
今年は何故かきれいだと感じて撮りました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、2度にわたるコメントを有難うございます。
どこをy軸と言っておられるのか知りませんが、
頂点から接点までの2種類の長さを x,y とすれば、
x+y=a=πr ,xy=r² だから、対称軸の長さも計算でき、
回転体の体積も求められるはずです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難うございます。
アカンサスの花です。
よく見る花ではありませんが、見られたとしても不思議でないです。