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[答753] 円に内接する四角形

ヤドカリ

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[答753] 円に内接する四角形


 円に内接する四角形ABCDの 対角線AC,BDの交点をPとします。

 AB=AD,AC:BD=8:7,cos∠APB=1/7 であるとき、AB:BC:CD=?


[解答1]

 BDの中点をM,BM=7x とすれば、BD=14x になり、AC:BD=8:7 より AC=16x です。

 また、PM=y とすれば、cos∠APB=1/7 より PA=7y になり、

 PB=7x+y,PC=16x-7y,PD=7x-y です。

 ここで、△PAD∽△PBC より AD:BC=PA:PB ,△PAB∽△PDC より AB:DC=PA:PD 、

 AD=AB だから、AB:BC:CD=PA:PB:PD=7y:(7x+y):(7x-y) になります。

 また、△PAD∽△PBC より PA:PB=PD:PC 、PA・PC=PB・PD 、(7y)(16x-7y)=(7x+y)(7x-y) 、

 112xy-49y2=49x2-y2 、49x2-112xy+48y2=0 、

 (7x-4y)(7x-12y)=0 、7x=4y または 7x=12y です。

 7x=4y のとき AB:BC:CD=7y:(7x+y):(7x-y)=7y:(4y+y):(4y-y)=7:5:3 、

 7x=12y のとき AB:BC:CD=7y:(7x+y):(7x-y)=7y:(12y+y):(12y-y)=7:13:11 です。


[解答2]

 AB=AD=a,BC=b,CD=c,AC=8k,BD=7k とします。

 まず、∠APB<90゚ より明らかに b>c ,∠ABC<90゚ です。

 トレミーの定理により、AD・BC+AB・CD=AC・BD 、ab+ac=56k2 、a(b+c)=56k2 、b+c=56k2/a です。

 また、面積は、△ABC+△ADC=四角形ABCD だから、

 (1/2)ab・sin∠ABC+(1/2)ab・sin∠ADC=(1/2)・8k・7k・sin∠APB となって、

 a(b+c)sin∠ABC=56k2sin∠APB 、sin∠ABC=sin∠APB 、∠ABC=∠APB です。

 余弦定理より、

 64k2=a2+b2-2ab・cos∠ABC=a2+b2-2ab/7 、

 64k2=a2+c2-2ac・cos∠ADC=a2+c2-2ac/7 、

 b2-c2=2a(b+c)/7 、b-c=2a/7 です。

 b+c=56k2/a ,b-c=2a/7 より、b=28k2/a+a/7 ,c=28k2/a-a/7 です。

 64k2=a2+b(b-2a/7) に代入して、

 64k2=a2+(28k2/a+a/7)(28k2/a-a/7) 、64k2=a2+282k4/a2-a2/49 、64k2a2=(48/49)a4+282k4

 3a4/49-4k2a2+492k4=0 、(a2/7-7k2)(3a2/7-7k2)=0 、(a2-49k2)(3a2-49k2)=0 、a2=49k2,49k2/3 、

 a=7k,7k/√3 になります。

 a=7k のとき、b=5k,c=3k 、a:b:c=7:5:3 です。

 a=7k/√3 のとき、b=13k/√3,c=11k/√3 、a:b:c=7:13:11 です。

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Comments 14

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樹☆  
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おはようございます
アメリカディゴ・・こちらでもよく見かけます。
鮮やかな色で雨の中でも目立ちます。

ニリンソウ  
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アメリカデイゴ、沖縄の県花ですか
ブログを通して知った花ですが雪国では見る事はないです。 サッカーはどうなったかな?

ナイス

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
アメリカデイゴはお日様も似合いますが雨に濡れた姿も綺麗な花ですね♪
此方では沿道で良く見かける花です♪

サッカー 日本は4点目を
入れられてしまいましたね

ガンバレー日本!!

ナイス♪

ひとりしずか  
No title

赤が強烈!
アメリカデイゴというのですか~
初めて見ます。
ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

「解答1」でした。
厳密には自分は、x=1とし、すなわち、PA=7y、PC=16-7y、PB=7+y、PD=7-yで計算しました。
なお、「解答1の下から4行の後半:49x^2-112xy+48y^2」で[y]が欠落していると思います。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答2]の感じで考えましたぁ ^^
方程式はPCに任せちゃいました…めんご…^^; Orz~
図から、解は2種類になることが明瞭でしたですね ^^;...

アキチャン  
No title

こんにちわ。
真っ赤で印象的ですね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
この花を見かけるようになると夏ですね。
南国の花だけに鮮やかな色です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
雪国では冬に耐えられないのでしょうか?
こちらではよく見かける花です。
サッカーは4年後に期待ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難うございます。
雨に濡れても真っ赤な花は目立ちますね。
ところで、サッカーは4年後に期待しましょう。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
アメリカデイゴは此方ではよく見る花です。
南国の花ですので、東北の冬には耐えられないのでしょうね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントとミスの指摘を有難うございます。
早速、抜けていたyを追加しました。
比を求める問題ですので、数値を限定し、計算を楽にするのも常道ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
左の図の△BCDは有名ですね。
これを元に問題を作りました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難うございます。
本当に赤い花です。貴女の名前アイコンよりも赤いと思います。