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逆順が倍数になる回文数以外の自然数

ヤドカリ

ヤドカリ


逆順が倍数になる回文数以外の自然数

2178×4=8712 ,10989×9=98901 のように、
2以上の自然数を掛けると逆順になる 2178,10989 のような自然数があります。
そのような自然数について考察します。

大文字は先頭が0の場合を認めた何桁かの数とし、
'をつけてその先頭数字を、"をつけて最後の数字を表すものとします。
また、逆順にした数をアンダーラインで、桁数を小文字で表すことにします。
たとえば、A=6789 のとき、A'=6,A"=9,A=9876,a=4 を意味します。
なお、≡ は (mod 10) の意味で使うことにします。

A×n=A (A'≠0,A"≠0) において、
A'n≦A"<(A'+1)n ,A"n≡A' を満たすのは、(n,A',A")=(4,2,8),(9,1,9) だけです。
すなわち、2…8×4=8…2 ,1…9×9=9…1 だけです。

まず、(n,A',A")=(4,2,8) について考察します。
A=2・10b+1+10B+8 とすれば A=8・10b+1+10B+2 、
4A=A だから、8・10b+1+40B+32=8・10b+1+10B+2 、4B+3=B です。
4B'≦B" ,4B"+3≡B' ですので、(B',B")=(1,7) だけです。
b=2 の場合はここで完了し、A=2178 です。b≧3 の場合は、
B=1・10c+1+10C+7 とすれば B=7・10c+1+10C+1 、
4B+3=B だから、4・10c+1+40C+31=7・10c+1+10C+1 、4C+3=30・10c-1C です。
c=1 の場合は C=C=9 です。c≧2 の場合は、
4(C'+1)+3>30 ,4C"+3≡C' より (C',C")=(9,9),(9,4),(7,1),(7,1) だけです。
(C',C")=(9,9) のとき
 C=9・10d+1+10D+9 とすれば C=9・10d+1+10D+9 、
 4C+3=30・10c-1C だから、36・10d+1+40D+39=30・10d+1+9・10d+1+10D+9 、
 4D+3=30・10d-1D 、これは 4C+3=30・10c-1C と同意ですので、
 A=21X78,219X978,2199X9978,…… のXの部分が共通であることを意味します。
(C',C")=(9,4) のとき
 C=9・10d+1+10D+4 とすれば C=4・10d+1+10D+9 、
 4C+3=30・10c-1C だから、36・10d+1+40D+19=30・10d+1+4・10d+1+10D+9 、
 2・10d+4D+1=DD<10d だから適しません。
(C',C")=(7,6) のとき
 C=7・10d+1+10D+6 とすれば C=6・10d+1+10D+7 、
 4C+3=30・10c-1C だから、28・10d+1+40D+27=30・10d+1+6・10d+1+10D+7 、
 4D+2=8・10dD 、4D+2<4・10d+2 だから適しません。
(C',C")=(7,1) のとき
 C=7・10d+1+10D+1 とすれば C=1・10d+1+10D+7 、
 4C+3=30・10c-1C だから、28・10d+1+40D+7=30・10d+1+1・10d+1+10D+7 、
 4D=30・10d-1D
 4(D'+1)>30 ,4D"≡D' より (D',D")=(8,7),(8,2) だけです。
 (D',D")=(8,7) のとき
  D=8・10e+1+10E+7 とすれば D=7・10e+1+10E+8 、
  4D=30・10d-1D だから、32・10e+1+40E+28=30・10e+1+7・10e+1+10E+8 、
  4E+2=5・10eE 、4E+2<4・10e+2 だから適しません。
 (D',D")=(8,2) のとき
  D=8・10e+1+10E+2 とすれば D=2・10e+1+10E+8 、
  4D=30・10d-1D だから、32・10e+1+40E+8=30・10e+1+2・10e+1+10E+8 、
  4E=E 、これは 4A=A と同意です。

したがって、0個以上の9の並びを[9],0個以上の0の並びを[0],Aと同条件の並びを[A]で表せば、
A×4 が Aの逆順になるAの形 は、21[9]78,21[9]78[0]21[9]78,21[9]78[0][A][0]21[9]78 になります。
ただし、左右の[9]どうし,[0]どうしは同数個並べたものです。

よって、偶数桁については、
4桁は 2178,
6桁は 219978,
8桁は 21782178,21999978,
10桁は 2197821978,2178002178,2199999978,
12桁は 217821782178,219978219978,219780021978,217800002178,219999999978 のように、
(n-4)桁の中央に 7812,2178 の適切な方、(n-2)桁の中央に 99,00 の適切な方を
挿入することによって、n桁のものが得られます。
また、奇数桁の場合は、
5桁は 21978,
7桁は 2199978,
9桁は 217802178,219999978,
11桁は 21978021978,21780002178,21999999978,
13桁は 2178219782178,2199780219978,2197800021978,2178000002178,2199999999978 のように、
(n-1)桁の中央に 9,0 の適切な方を挿入することによって、n桁のものが得られます。

次に、(n,A',A")=(9,1,9) について考察します。
A=1・10b+1+10B+9 とすれば A=9・10b+1+10B+1 、
9A=A だから、9・10b+1+90B+81=9・10b+1+10B+1 、9B+8=B です。
9B'≦B" ,9B"+8≡B' ですので、(B',B")=(0,8) だけです。
b=2 の場合はここで完了し、A=1089 です。b≧3 の場合は、
B=0・10c+1+10C+8 とすれば B=8・10c+1+10C+0 、
9B+8=B だから、90C+80=8・10c+1+10C 、9C+8=80・10c-1C です。
c=1 の場合は C=C=9 です。c≧2 の場合は、
9(C'+1)+8>80 ,9C"+8≡C' より (C',C")=(9,9),(7,1),(8,0) だけです。
(C',C")=(9,9) のとき
 C=9・10d+1+10D+9 とすれば C=9・10d+1+10D+9 、
 9C+8=80・10c-1C だから、81・10d+1+90D+89=80・10d+1+9・10d+1+10D+9 、
 9D+8=80・10d-1D 、これは 9C+8=80・10c-1C と同意ですので、
 A=10X89,109X989,1099X9989,…… のXの部分が共通であることを意味します。
(C',C")=(7,1) のとき
 C=7・10d+1+10D+1 とすれば C=1・10d+1+10D+7 、
 9C+8=80・10c-1C だから、63・10d+1+90D+17=80・10d+1+1・10d+1+10D+7 、
 9D+1=18・10dD 、9D+1<9・10d+1 だから適しません。
(C',C")=(8,0) のとき
 C=8・10d+1+10D+0 とすれば C=0・10d+1+10D+8 、
 9C+8=80・10c-1C だから、72・10d+1+90D+8=80・10d+1+10D+8 、
 9D=80・10d-1D
 9(D'+1)>80 ,9D"≡D' より (D',D")=(8,2),(9,1) だけです。
 (D',D")=(8,2) のとき
  D=8・10e+1+10E+2 とすれば D=2・10e+1+10E+8 、
  9D=80・10d-1D だから、72・10e+1+90E+18=80・10e+1+2・10e+1+10E+8 、
  9E+1=10・10eE 、9E+1<9・10e+1 だから適しません。
 (D',D")=(9,1) のとき
  D=9・10e+1+10E+1 とすれば D=1・10e+1+10E+9 、
  9D=80・10d-1D だから、81・10e+1+90E+9=80・10e+1+1・10e+1+10E+9 、
  9E=E 、これは 9A=A と同意です。

したがって、0個以上の9の並びを[9],0個以上の0の並びを[0],Aと同条件の並びを[A]で表せば、
A×9 が Aの逆順になるAの形 は、10[9]89,10[9]89[0]10[9]89,10[9]89[0][A][0]10[9]89 になります。
ただし、左右の[9]どうし,[0]どうしは同数個並べたものです。

これは、A×4 が Aの逆順になるAの 21 を 10 ,78 を 89 に書き換えたもので、
21[9]78/2=10[9]89 のように、A×4 が Aの逆順になるAの 1/2 になります。

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Comments 9

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さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
黄色のヘメロカリスが綺麗ですね♪
色んな色合いが在りますが此の色は余り見かけません!!

好きな色です

ナイス♪

アキチャン  
No title

おはようございます。
黄色いのもいいですね‥きれい♪(o^-^o)

ニリンソウ  
No title

ヘメロカリス、カンゾウの季節ですね。
爽やかな黄色ですね,ユウスゲかな?

ナイス

樹☆  
No title

こんいちは
ニッコウキスゲかな?
この種類はたくさんでよくわかりません
でも・・幸せの色してますね^^ナイス

ヤドカリ  
No title


写真の花は ゴールデン・グレイン という
ヘメロカリスの一種です。
長居植物園で見ました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難うございます。
上に書きましたように、ゴールデン・グレインというヘメロカリスです。
黄色の色合いが綺麗でした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
黄色が鮮やかでした。
私にとっても好きな色です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
上に書きましたように、ゴールデン・グレインという品種です。
ユウスゲにも似ていますね。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
上に書きましたように、ゴールデン・グレインというヘメロカリスです。
本当に種類が多いです。幸せの黄色いハンカチを思い出されまいたか。