[答754] 逆順が倍数になる自然数
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[答754] 逆順が倍数になる自然数
4桁の自然数 1089,2178 は、逆順にすると 8712,9801 ですが、
1089×9=9801 ,2178×4=8712 ですので、もとの数の倍数です。
調べてみると、回文数を除くと、逆順がもとの数の倍数である4桁の自然数は この2個だけです。
では、回文数を除いて 逆順がもとの数の倍数である30桁の自然数は何個?
また、回文数を除いて 逆順がもとの数の倍数である31桁の自然数は何個?
[解答]
逆順が倍数になる回文数以外の自然数( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-2104.html )の
記事のように、この性質をもつのは、2…8×4=8…2 ,1…9×9=9…1 だけです。
0個以上の9の並びを[9],0個以上の0の並びを[0],Aと同条件の並びを[A]で表せば、
A×4 が Aの逆順になるAの形は、21[9]78,21[9]78[0]21[9]78,21[9]78[0][A][0]21[9]78 、
A×9 が Aの逆順になるAの形は、10[9]89,10[9]89[0]10[9]89,10[9]89[0][A][0]10[9]89 です。
比較すると、 21 ⇔ 10 ,78 ⇔ 89 の書き換えで一方から他方が得られますので、
桁数を指定すれば、同数個あることになります。
A×4 が Aの逆順になるAについて、偶数桁については、
4桁は 2178,6桁は 219978,8桁は 21782178,21999978,10桁は 2197812978,2178002178,2199999978,
12桁は 217821782178,219978129978,219780012978,217800002178,219999999978 下線部のように、
n桁は (n-4)桁の中央に 7812,2178 の適切な方、(n-2)桁の中央に 99,00 の適切な方を
挿入することによって得られます。
また、奇数桁の場合は、1桁少ない偶数桁の中央に 9,0 の適切な方を挿入することによって得られます。
個数は
4桁:1 ,6桁:1 ,8桁:1+1=2 ,10桁:1+2=3 ,12桁:2+3=5 ,14桁:3+5=8 ,
16桁:5+8=13 ,18桁:8+13=21 ,20桁:13+21=34 ,22桁:21+34=55 ,
24桁:34+55=89 ,26桁:55+89=144 ,28桁:89+144=233 ,30桁:144+233=377 です。
A×4 ,A×9 が Aの逆順になるAについて、30桁の場合は 377×2=754 個あることになります。
31桁の場合も 30桁の場合と同数で 754 個です。
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