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[答754] 逆順が倍数になる自然数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答754] 逆順が倍数になる自然数


 4桁の自然数 1089,2178 は、逆順にすると 8712,9801 ですが、

 1089×9=9801 ,2178×4=8712 ですので、もとの数の倍数です。

 調べてみると、回文数を除くと、逆順がもとの数の倍数である4桁の自然数は この2個だけです。

 では、回文数を除いて 逆順がもとの数の倍数である30桁の自然数は何個?

 また、回文数を除いて 逆順がもとの数の倍数である31桁の自然数は何個?


[解答]

 逆順が倍数になる回文数以外の自然数( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-2104.html )の

 記事のように、この性質をもつのは、2…8×4=8…2 ,1…9×9=9…1 だけです。

 0個以上の9の並びを[9],0個以上の0の並びを[0],Aと同条件の並びを[A]で表せば、

 A×4 が Aの逆順になるAの形は、21[9]78,21[9]78[0]21[9]78,21[9]78[0][A][0]21[9]78 、

 A×9 が Aの逆順になるAの形は、10[9]89,10[9]89[0]10[9]89,10[9]89[0][A][0]10[9]89 です。

 比較すると、 21 ⇔ 10 ,78 ⇔ 89 の書き換えで一方から他方が得られますので、

 桁数を指定すれば、同数個あることになります。

 A×4 が Aの逆順になるAについて、偶数桁については、

 4桁は 2178,6桁は 219978,8桁は 21782178,21999978,10桁は 2197812978,2178002178,2199999978,

 12桁は 217821782178,219978129978,219780012978,217800002178,219999999978 下線部のように、

 n桁は (n-4)桁の中央に 7812,2178 の適切な方、(n-2)桁の中央に 99,00 の適切な方を

 挿入することによって得られます。

 また、奇数桁の場合は、1桁少ない偶数桁の中央に 9,0 の適切な方を挿入することによって得られます。

 個数は

 4桁:1 ,6桁:1 ,8桁:1+1=2 ,10桁:1+2=3 ,12桁:2+3=5 ,14桁:3+5=8 ,

 16桁:5+8=13 ,18桁:8+13=21 ,20桁:13+21=34 ,22桁:21+34=55 ,

 24桁:34+55=89 ,26桁:55+89=144 ,28桁:89+144=233 ,30桁:144+233=377 です。

 A×4 ,A×9 が Aの逆順になるAについて、30桁の場合は 377×2=754 個あることになります。

 31桁の場合も 30桁の場合と同数で 754 個です。

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Comments 17

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アキチャン  
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やっぱり、赤もいい♪(o^-^o)

ニリンソウ  
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鮮やかです・・・今日も夏日でお日様が眩しいです。

ナイス

pea*hb*zu  
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里山の道端に多い、のかんぞうですね。田舎っぽい雰囲気が、魅力です。

スモークマン  
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グーテンモルゲン ^^
アバウトにそんな風に(同じ数字の真ん中に9,同じ数字の間同士に9 or oを挿入)に思えたものの…まだ思慮不足でしたのね...^^;
カウントの仕方もよく分からず…フィボナッチになるんだ…☆
熟読玩味ぃ~Orz~

tsuyoshik1942  
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「解答と記事」読ませていただきました。
完全とは言えませんが、大筋理解できたような気がします。

自分は解いてはおりません。答えを見つけただけです。
十進BASICで4桁から10桁までの答(2,2,2,2,4,4,6)を得、もしかしたらと、整数列辞典を検索したら、ヒットしました。

この時点のプログラムでは、10桁でも6個の答をはじき出すのに5分以上かかり、30桁では天文学的時間でしたが、究極、30桁754個を一瞬でたたき出すまでに仕上がりました。
ポイントは記事の中の「A'n=<A"<(A'+1)n」を一桁ごとに随時適用したことでした。
本筋からはずれますが、プログラミングでも存分に楽しませていただきました。

樹☆  
No title

一重でシベがあるから・・ノカンゾウかな。。
雨に濡れた姿もすてきですね。。

こちらは雨やみました。
梅雨らしくないお天気です。。ナイス

風 草  
No title

水滴を纏った花は、涼しげでいいですね。

ナイス☆

さっちゃんこ  
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今日は
ヘメロカリスこの色も良いですネ
もみじの里でも今頑張って咲いていますよ
ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title


写真の花は パトシリア・フェイ という
ヘメロカリスの一種です。
長居植物園で見ました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難うございます。
橙色というか、赤っぽいヘメロカリスも多いですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
こちらは朝は小降りの雨、その後は曇でした。
そちらの方が暑そうですね。

ヤドカリ  
No title

pea*hb*zuさん、早速のコメントを有難うございます。
この花は上に書きましたように、パトシリア・フェイというヘメロカリスです。
ノカンゾウやヤブカンゾウの咲く田舎道もいいですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
けっこう面倒な問題だったと思います。
メインは前記事です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
プログラムでも一筋縄では出来ませんでしたか。
工夫のし甲斐があって何よりです。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
上に書きましたように、パトシリア・フェイというヘメロカリスです。
ヘメロカリスも種類が多く、似たものも多くてわかりにくいですね。

ヤドカリ  
No title

風草さん、コメントとナイス!を有難うございます。
小雨が降る中で撮った花です。
水滴は花の魅力を引き立てることがありますね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
そちらでもヘメロカリスがたくさん咲いているのでしょうね。
この色は比較的多いと思います。