[答754] 逆順が倍数になる自然数

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[答754] 逆順が倍数になる自然数


　４桁の自然数 1089，2178 は、逆順にすると 8712，9801 ですが、

　1089×9＝9801 ，2178×4＝8712 ですので、もとの数の倍数です。

　調べてみると、回文数を除くと、逆順がもとの数の倍数である４桁の自然数は この２個だけです。

　では、回文数を除いて 逆順がもとの数の倍数である30桁の自然数は何個？

　また、回文数を除いて 逆順がもとの数の倍数である31桁の自然数は何個？


[解答]

　逆順が倍数になる回文数以外の自然数( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-2104.html )の

　記事のように、この性質をもつのは、2…8×4＝8…2 ，1…9×9＝9…1 だけです。

　0個以上の9の並びを[9]，0個以上の0の並びを[0]，Aと同条件の並びを[A]で表せば、

　A×4 が Aの逆順になるAの形は、21[9]78，21[9]78[0]21[9]78，21[9]78[0][A][0]21[9]78 、

　A×9 が Aの逆順になるAの形は、10[9]89，10[9]89[0]10[9]89，10[9]89[0][A][0]10[9]89 です。

　比較すると、 21 ⇔ 10 ，78 ⇔ 89 の書き換えで一方から他方が得られますので、

　桁数を指定すれば、同数個あることになります。

　A×4 が Aの逆順になるAについて、偶数桁については、

　4桁は 2178，6桁は 219978，8桁は 21782178，21999978，10桁は 2197812978，2178002178，2199999978，

　12桁は 217821782178，219978129978，219780012978，217800002178，219999999978 下線部のように、

　ｎ桁は (n－4)桁の中央に 7812，2178 の適切な方、(n－2)桁の中央に 99，00 の適切な方を

　挿入することによって得られます。

　また、奇数桁の場合は、１桁少ない偶数桁の中央に 9，0 の適切な方を挿入することによって得られます。

　個数は

　4桁：1 ，6桁：1 ，8桁：1＋1＝2 ，10桁：1＋2＝3 ，12桁：2＋3＝5 ，14桁：3＋5＝8 ，

　16桁：5＋8＝13 ，18桁：8＋13＝21 ，20桁：13＋21＝34 ，22桁：21＋34＝55 ，

　24桁：34＋55＝89 ，26桁：55＋89＝144 ，28桁：89＋144＝233 ，30桁：144＋233＝377 です。

　A×4 ，A×9 が Aの逆順になるAについて、30桁の場合は 377×2＝754 個あることになります。

　31桁の場合も 30桁の場合と同数で 754 個です。

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