[答755] 分数式の最小値

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[答755] 分数式の最小値


　正の数 x，y，z について、 (6x⁶＋3y³＋2z²)/(xyz) の最小値は？


[解答1]

　相加平均・相乗平均の関係により、

　(6x⁶＋3y³＋2z²)/6＝(6x⁶＋3y³/2＋3y³/2＋2z²/3＋2z²/3＋2z²/3)/6

　≧⁶√{6x⁶(3y³/2)(3y³/2)(2z²/3)(2z²/3)(2z²/3)}＝⁶√(4x⁶y⁶z⁶)＝(³√2)xyz 、

　(6x⁶＋3y³＋2z²)/6≧(³√2)xyz の両辺に 6/(xyz) を掛けて、

　(6x⁶＋3y³＋2z²)/(xyz)≧6(³√2) 、最小値は、6(³√2) です。

　最小になるのは、 6x⁶＝3y³/2＝2z²/3 だから、y³＝4x⁶ ，z²＝9x⁶ 、

　y＝(³√4)x² ，z＝3x³ のときです。


[解答2] 置き換えで見やすく

　y＝2px² ，z＝3qx³ とおけば、

　(6x⁶＋3y³＋2z²)/(xyz)＝(6x⁶＋24p³x⁶＋18q²x⁶)/(6pqx⁶)＝1/(pq)＋4p²/q＋3q/p

　＝1/(pq)＋2p²/q＋2p²/q＋q/p＋q/p＋q/p

　相加平均・相乗平均の関係により、

　1/(pq)＋2p²/q＋2p²/q＋q/p＋q/p＋q/p≧6･⁶√｛1/(pq)｝(2p²/q)(2p²/q)(q/p)(q/p)(q/p)＝6･³√2 で、

　等号が成り立つのは、1/(pq)＝2p²/q＝q/p 、q＝1，p＝1/³√2 、よって、y＝(³√4)x² ，z＝3x³ のとき、

　最小値は 6･³√2 です。


[解答3] たけちゃんさんのコメントより (敢えて微分を使えば #1)

　(6x⁶＋3y³＋2z²)/(xyz)＝A とし，

　まず x，y を固定して z の関数とし，

　f(z)＝(2/xy)z＋｛(6x⁶＋3y³)/xy｝z^-1 として，( 敢えて微分を使って )

　f'(z)＝2/xy－｛(6x⁶＋3y³)/xy｝z^-2 より， f(z) は z＝√｛3(2x⁶＋y³)/2｝ のとき最小，

　f(z)の最小値は 2√｛6(2x⁴/y²+y/x²)｝となります．

　これは x，y を固定したときの A の最小値です．

　2x⁴/y²+y/x² を最小にしたいので，x を固定して y の関数とし，

　g(y)＝(1/x²)y＋(2x⁴)y^-2 として，( 敢えて微分を使って )

　g'(y)＝1/x²－(4x⁴)y^-3 より， g(y) は y＝(³√4)x² のとき最小，

　g(y)の最小値は (3/2)(³√4) となり，

　A の最小値は 2√｛6(3/2)(³√4)｝＝2√(9･³√4)＝6･³√2 となります．


[解答4] (敢えて微分を使えば #2)

　準備として、A，B を正の定数とし、f(q)＝A/q＋Bq (q＞0) の最小値を求めると、

　f'(q)＝(Bq²－A)/q² だから、q＞0 の範囲で q＝√(A/B) のとき最小、

　最小値は A/√(A/B)＋B√(A/B)＝2√(AB) です。

　y＝2px² ，z＝3qx³ とおけば、(6x⁶＋3y³＋2z²)/(xyz)＝1/(pq)＋4p²/q＋3q/p だから、

　A＝1/p＋4p² ，B＝3/p とすれば、1/(pq)＋4p²/q＋3q/p の最小値は、

　2√｛(1/p＋4p²)(3/p)｝＝2√(3/p²＋12p) です。

　g(p)＝3/p²＋12p とおけば、g'(p)＝12(p³－1/2)/p³ となって、

　p＞0 の範囲で p＝1/³√2 のとき最小、最小値は 3･³√4＋12/³√2＝9･³√4 、

　2√(3/p²＋12p) の最小値は、2√(9･³√4)＝6･³√2 です。

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