[答755] 分数式の最小値
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[答755] 分数式の最小値
正の数 x,y,z について、 (6x6+3y3+2z2)/(xyz) の最小値は?
[解答1]
相加平均・相乗平均の関係により、
(6x6+3y3+2z2)/6=(6x6+3y3/2+3y3/2+2z2/3+2z2/3+2z2/3)/6
≧6√{6x6(3y3/2)(3y3/2)(2z2/3)(2z2/3)(2z2/3)}=6√(4x6y6z6)=(3√2)xyz 、
(6x6+3y3+2z2)/6≧(3√2)xyz の両辺に 6/(xyz) を掛けて、
(6x6+3y3+2z2)/(xyz)≧6(3√2) 、最小値は、6(3√2) です。
最小になるのは、 6x6=3y3/2=2z2/3 だから、y3=4x6 ,z2=9x6 、
y=(3√4)x2 ,z=3x3 のときです。
[解答2] 置き換えで見やすく
y=2px2 ,z=3qx3 とおけば、
(6x6+3y3+2z2)/(xyz)=(6x6+24p3x6+18q2x6)/(6pqx6)=1/(pq)+4p2/q+3q/p
=1/(pq)+2p2/q+2p2/q+q/p+q/p+q/p
相加平均・相乗平均の関係により、
1/(pq)+2p2/q+2p2/q+q/p+q/p+q/p≧6・6√{1/(pq)}(2p2/q)(2p2/q)(q/p)(q/p)(q/p)=6・3√2 で、
等号が成り立つのは、1/(pq)=2p2/q=q/p 、q=1,p=1/3√2 、よって、y=(3√4)x2 ,z=3x3 のとき、
最小値は 6・3√2 です。
[解答3] たけちゃんさんのコメントより (敢えて微分を使えば #1)
(6x6+3y3+2z2)/(xyz)=A とし,
まず x,y を固定して z の関数とし,
f(z)=(2/xy)z+{(6x6+3y3)/xy}z-1 として,( 敢えて微分を使って )
f'(z)=2/xy-{(6x6+3y3)/xy}z-2 より, f(z) は z=√{3(2x6+y3)/2} のとき最小,
f(z)の最小値は 2√{6(2x4/y2+y/x2)}となります.
これは x,y を固定したときの A の最小値です.
2x4/y2+y/x2 を最小にしたいので,x を固定して y の関数とし,
g(y)=(1/x2)y+(2x4)y-2 として,( 敢えて微分を使って )
g'(y)=1/x2-(4x4)y-3 より, g(y) は y=(3√4)x2 のとき最小,
g(y)の最小値は (3/2)(3√4) となり,
A の最小値は 2√{6(3/2)(3√4)}=2√(9・3√4)=6・3√2 となります.
[解答4] (敢えて微分を使えば #2)
準備として、A,B を正の定数とし、f(q)=A/q+Bq (q>0) の最小値を求めると、
f'(q)=(Bq2-A)/q2 だから、q>0 の範囲で q=√(A/B) のとき最小、
最小値は A/√(A/B)+B√(A/B)=2√(AB) です。
y=2px2 ,z=3qx3 とおけば、(6x6+3y3+2z2)/(xyz)=1/(pq)+4p2/q+3q/p だから、
A=1/p+4p2 ,B=3/p とすれば、1/(pq)+4p2/q+3q/p の最小値は、
2√{(1/p+4p2)(3/p)}=2√(3/p2+12p) です。
g(p)=3/p2+12p とおけば、g'(p)=12(p3-1/2)/p3 となって、
p>0 の範囲で p=1/3√2 のとき最小、最小値は 3・3√4+12/3√2=9・3√4 、
2√(3/p2+12p) の最小値は、2√(9・3√4)=6・3√2 です。
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