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[答755] 分数式の最小値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答755] 分数式の最小値


 正の数 x,y,z について、 (6x6+3y3+2z2)/(xyz) の最小値は?


[解答1]

 相加平均・相乗平均の関係により、

 (6x6+3y3+2z2)/6=(6x6+3y3/2+3y3/2+2z2/3+2z2/3+2z2/3)/6

 ≧6√{6x6(3y3/2)(3y3/2)(2z2/3)(2z2/3)(2z2/3)}=6√(4x6y6z6)=(3√2)xyz 、

 (6x6+3y3+2z2)/6≧(3√2)xyz の両辺に 6/(xyz) を掛けて、

 (6x6+3y3+2z2)/(xyz)≧6(3√2) 、最小値は、6(3√2) です。

 最小になるのは、 6x6=3y3/2=2z2/3 だから、y3=4x6 ,z2=9x6

 y=(3√4)x2 ,z=3x3 のときです。


[解答2] 置き換えで見やすく

 y=2px2 ,z=3qx3 とおけば、

 (6x6+3y3+2z2)/(xyz)=(6x6+24p3x6+18q2x6)/(6pqx6)=1/(pq)+4p2/q+3q/p

 =1/(pq)+2p2/q+2p2/q+q/p+q/p+q/p

 相加平均・相乗平均の関係により、

 1/(pq)+2p2/q+2p2/q+q/p+q/p+q/p≧6・6√{1/(pq)}(2p2/q)(2p2/q)(q/p)(q/p)(q/p)=6・3√2 で、

 等号が成り立つのは、1/(pq)=2p2/q=q/p 、q=1,p=1/3√2 、よって、y=(3√4)x2 ,z=3x3 のとき、

 最小値は 6・3√2 です。


[解答3] たけちゃんさんのコメントより (敢えて微分を使えば #1)

 (6x6+3y3+2z2)/(xyz)=A とし,

 まず x,y を固定して z の関数とし,

 f(z)=(2/xy)z+{(6x6+3y3)/xy}z-1 として,( 敢えて微分を使って )

 f'(z)=2/xy-{(6x6+3y3)/xy}z-2 より, f(z) は z=√{3(2x6+y3)/2} のとき最小,

 f(z)の最小値は 2√{6(2x4/y2+y/x2)}となります.

 これは x,y を固定したときの A の最小値です.

 2x4/y2+y/x2 を最小にしたいので,x を固定して y の関数とし,

 g(y)=(1/x2)y+(2x4)y-2 として,( 敢えて微分を使って )

 g'(y)=1/x2-(4x4)y-3 より, g(y) は y=(3√4)x2 のとき最小,

 g(y)の最小値は (3/2)(3√4) となり,

 A の最小値は 2√{6(3/2)(3√4)}=2√(9・3√4)=6・3√2 となります.


[解答4] (敢えて微分を使えば #2)

 準備として、A,B を正の定数とし、f(q)=A/q+Bq (q>0) の最小値を求めると、

 f'(q)=(Bq2-A)/q2 だから、q>0 の範囲で q=√(A/B) のとき最小、

 最小値は A/√(A/B)+B√(A/B)=2√(AB) です。

 y=2px2 ,z=3qx3 とおけば、(6x6+3y3+2z2)/(xyz)=1/(pq)+4p2/q+3q/p だから、

 A=1/p+4p2 ,B=3/p とすれば、1/(pq)+4p2/q+3q/p の最小値は、

 2√{(1/p+4p2)(3/p)}=2√(3/p2+12p) です。

 g(p)=3/p2+12p とおけば、g'(p)=12(p3-1/2)/p3 となって、

 p>0 の範囲で p=1/3√2 のとき最小、最小値は 3・3√4+12/3√2=9・3√4 、

 2√(3/p2+12p) の最小値は、2√(9・3√4)=6・3√2 です。

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Comments 20

There are no comments yet.
たけちゃん  
No title

最後切れましたね.

Aの最小値は 2√(6*(3/2)*4^(1/3))=6*2^(1/3)となります.

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
[解答2]もどきでした…^^;
二度置換してなんとか相加相乗の形に持って行き(け)ました…^^;;
どうも…この手はパズルチックに感じてます…Orz~...

樹☆  
No title

おおっ~~こんなお花でしたか。。
白い部分・・なずなに似てます。
ニリンソウさんが仰るように風に揺れたらまた
可愛いと思います。。

uch*n*an  
No title

たけちゃんさんのは,実質,偏微分と同じですね。
まぁ,立場は少し違って,偏微分は各変数を平等に扱える感覚がありますが,
一つの変数を微分する,増減を調べる,際に他の変数を固定するのは同じで,
一つずつ考えていけば全く同じになります。
ただ,個人的には,これは最終手段だと思っており,
高校数学までの範囲ではできればやりたくないです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
たくさん咲いていました。
地味な花ですが、精一杯、団体で生きているのですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
こちらではヘラオオバコはたくさん見られます。
群生していることが多いです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
此方では長い期間にわたて群生しています。
そちらで見られないのが不思議なくらい、蔓延っています。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ヘラオオバコは私にとって注視するような植物ではありませんが、
近づいて撮ってみるとこんな画像になりました。
こうして見ると見所もありますね。

ヤドカリ  
No title

pea*hb*zuさん、早速のコメントを有難うございます。
解答説明の記事で「すっきりしました」は嬉しいコメントです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難うございます。
微分による方法は、たけちゃんさんが書かれていると通りで[解答3]として加えました。
私も[解答4]を加えておきました。
ただ、微分を使えばこうなるということで、私としては避けたい解法です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
ヘラオオバコの群生があちこちで見られます。
長い期間、一生懸命咲いているので撮ってみたら、こんな写真になりました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難うございます。
ヘラオオバコは穂の上部に花をつけて少しずつ伸びてきました。
近づいて見れば、面白い花ですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
与式をkとおいて、2次式の実数条件を使うのはよくある解き方ですね。
tsuyoshik1942さんのリクエストに応えたのが、追加した[解答3][解答4]ですが、
微分を使うなら、単純にこんなものでもいいでしょう。
もちろん、偏微分は計算だけの最終手段だと私も思いますので、最初は避けました。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、微分での解答を有難うございます。
どの文字から微分すると計算が楽かを考えれば、
やはり貴殿の書かれているzからでしょう。
解答に加えさせて頂きました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
置き換えると式が見やすくなりますね。
正の数を使う分数式を扱っているので、相加相乗は見え見えでしょう。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、再度のコメントを有難うございます。
風に揺れたら撮りにくいです。

tsuyoshik1942  
No title

uchinyanさん、たけちゃんさん、やどかりさんありがとうございます。
勉強させていただきます。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
微分の方法も、途中で相加相乗平均を使うともっと短縮できます。
そういう意味でこの問題はやはり相加相乗平均がメインです。

uch*n*an  
No title

うーむ,[解答3]も[解答4]も一つの変数で微分する際には他の変数は定数と思う,
という偏微分的な発想は同じですね。個人的にはこれなしの微分で済ませたかったので,
与式の特徴を活かし,[解答2]の同次式的な変形,q が2次の範囲で済むので判別式,とし,
p だけの1変数にして微分する,という方法を示しました。これなら高校数学の範囲でしょう。
しかし,どうも,今回の趣旨とは会わなかったようで,失礼致しました。
なお,[解答3]と[解答4]を比べると,
偏微分的な発想を認めれば,[解答3]は一般的な手法で,素直で自然ないい方法だと思います。
一方,[解答4]は変数を1つ減らしていますが,そこまでで変数はまだ2つ残っており,,
[解答3]のようにそうしなくともできるので意図がよく分からず,あまり意味はないようにも思われ,
個人的には,ごめんなさい,中途半端な感じがします。
まぁ,あくまでも個人的な感想ですので,無視してくださいね (^^;

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
個人的な感想を無視せずに書きますと、……
[解答4]は確かに中途半端ですね。
A/q+Bq (q>0) の最小値が 2√(AB) になることは、微分での説明を加えましたが、
相加・相乗平均を使う、最も簡単な事柄ですので、これを既知として、
敢えて微分で解いたものです。
相加・相乗平均を使って説明すれば、次は 3/p^2+12p=3/p^2+6p+6p としたくなり、
そうすると相加・相乗平均を1回で済ませる[解答2]の方が優れています。
結局、無理してまで、微分を使う問題ではないと思います。