[答71] 三角関数を含む関数の最大値・最小値

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[答71] 三角関数を含む関数の最大値・最小値


　f(θ)＝(sinθ＋cosθ＋4)/(cosθ－sinθ＋2) の最大値・最小値は？



[解答1]

　f(θ)は微分可能な周期関数だから、極値の中に最大値と最小値があります。

　f(θ)＝(sinθ＋cosθ＋4)/(cosθ－sinθ＋2) を微分すると、

　f'(θ)＝2(sinθ＋3cosθ＋1)/(cosθ－sinθ＋2)² になります。

　f'(θ)＝0 を解くと、sinθ＝4/5, cosθ＝－3/5 または sinθ＝－1, cosθ＝0 。

　このときのf(θ)は、7,1で、これが最大値と最小値です。

☆ f'(θ)の符号は、三角関数の合成を考えてもできますが、計算が面倒です。

　単位円と直線 y＋3x＋1＝0 の交点(0,－1),(－3/5,4/5) や、

　領域 y＋3x＋1＞0, y＋3x＋1＜0 を考えれば容易にわかります。


[解答2]

　f(θ)は、A(－2,－4), P(cosθ－sinθ, sinθ＋cosθ)を結ぶ直線の傾きです。

　cosθ－sinθ＝(√2)cos(θ＋π/4), sinθ＋cosθ＝(√2)sin(θ＋π/4) だから、

　Pは中心が(0,0)で半径が√2 の円周上を動きます。

　f(θ)＝m とおくと、直線APは y＋4＝m(x＋2) すなわち、m(x＋2)－y－4＝0 。

　これと(0,0)の距離が、√2以下になりますので、

　|2m－4|/√(m²＋1)≦√2、分母を払って２乗すると、(2m－4)²≦2(m²＋1)。

　これを解くと、1≦m≦7。従って、最大値は7, 最小値は1 です。


[解答3] uch*n*anさんの解答を詳しくしたものです

　ｎを整数として、θ≠π＋2nπ のとき、

　tan(θ/2)＝t とすると、sinθ＝2t/(1＋t²), cosθ＝(1－t²)/(1＋t²),

　f(θ)＝{2t/(1＋t²)＋(1－t²)/(1＋t²)＋4}/{(1－t²)/(1＋t²)－2t/(1＋t²)＋2}

　 　 ＝(3t²＋2t＋5)/(t²－2t＋3)

　k＝(3t²＋2t＋5)/(t²－2t＋3) とすれば、(k－3)t²－2(k＋1)t＋(3k－5)＝0。

　k≠3 のとき、ｔが実数だから判別式を用いて、

　(k＋1)²－(k－3)(3k－5)≧0、これを解くと、1≦k≦7。

　したがって、k＝3 のときは、最大値・最小値になりません。

　また、f(π＋2nπ)＝3 も、最大値・最小値になりません。

☆ k＝7 のとき、4t²－16t＋16＝0 より t＝2、sinθ＝4/5, cosθ＝－3/5。
　 k＝1 のとき、－2t²－4t－2＝0 より t＝－1、sinθ＝－1, cosθ＝0。

☆ f(θ)＝(3t²＋2t＋5)/(t²－2t＋3) をｔで微分しても求められます。

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