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[答756] 長方形の面積の最大値

ヤドカリ

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[答756] 長方形の面積の最大値


 円に内接する四角形ABCDがあり、AB=BC=30,CD=18,DA=6 です。

 いま、BCの一部を1辺とし、AB,CD上に頂点がある長方形を描くとき、

 この長方形の面積の最大値は?


[解答1]

 BA,CDを延長し、交点をPとします。

 △PBC∽△PDA で、相似比は BC:DA=30:6=5:1 です。

 従って、PB=5PD,PC=5PA 、PB=5(PC-18),PC=5(PB-30) 、PB=35,PC=25 になります。

 (30+35+25)/2=45 だから、ヘロンの公式により、

 △PBC=√{45(45-30)(45-35)(45-25)}=√(45・15・10・20)=15・10√(3・2)=150√6 、

 BCを底辺とする △PBCの高さを h とすれば h=2△PBC/BC=2(150√6)/30=10√6 です。

 また、DとBCの距離を d とすれば、DC:d=PC:h 、18:d=25:h 、d=18h/25 です。

 長方形の縦を x,横をy とすれば、h:(h-x)=30:y だから、hy=30h-30x 、(30x+hy)/2=15h 、

 相加・相乗平均の関係により、

 (30x+hy)/2≧√(30hxy) 、√(30hxy)≦15h 、30hxy≦225h2 、xy≦15h/2 です。

 ここで、等号が成り立つのは、30x=hy=15h のときだから、x=h/2,y=15 のときで、

 x=h/2<18h/25=d で OK です。

 よって、xy の最大値は 15h/2=75√6 です。


[解答2]

 BA,CDを延長し、交点をPとします。

 △PBC∽△PDA で、相似比は BC:DA=30:6=5:1 です。

 従って、PB=5PD,PC=5PA 、PB=5(PC-18),PC=5(PB-30) 、PB=35,PC=25 になります。

 また、PA=5<PB/2,PD=7<PC/2 だから、下の図より、

 面積が最大の長方形は、頂点の2つを PB,PC の中点とするときで、面積は △PBC/2 になります。

 (30+35+25)/2=45 だから、ヘロンの公式により、

 △PBC=√{45(45-30)(45-35)(45-25)}=√(45・15・10・20)=15・10√(3・2)=150√6 、

 面積が最大の長方形の面積は、△PBC/2=75√6 になります。


☆ △PADの辺 PA=7,PD=5,AD=6 が隠し味でした。

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Comments 20

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樹☆  
No title

おはようございます
今日は半夏生でしたね。
さすが~~それにあわせての半夏生^m^

ニリンソウ  
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ハンゲショウこんな風に撮れたら情緒でますね
背景が入りすぎて旨く行きませんでした。
素敵です、 ナイス

こっこちゃん  
No title

おはようございます !(^^)!

ハンゲショウ こうして 近くで見ることありません

青い部分が 全て 白っぽくなるのでしょうか ナイス☆

アキチャン  
No title

おはようございます。
半夏生、お花が立っていますね(o^-^o)
TBよろしくです。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
どちらも気付けず…tanを使って考えましたが…^^;
[解答2]の面積最大の場合の図は…Aha!! ですね☆
一般の三角形で言えるわけだから...一般の四角形でも言えますね♪
Orz~

ゆうこ つれづれ日記  
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ハンゲショウですね。
先日テレビで放映をされていました。
群生が素晴らしかったです。
ナイス☆

さっちゃんこ  
No title

今晩は♪
半夏生があちこちで綺麗に咲いていますね!?
花よりも真っ白に成った葉っぱの方が目立ちますね!?

ナイス♪

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
やはり、雑節の半夏生を意識しておられたのですね。
葉の白いのがよく目立ちますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
半夏生も咲く場所によって撮り易いこともあるし、撮りにくいこともあります。
何回か撮って、この写真を選びました。

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」は視覚に訴えたきれいなシャレた解法ですね!

BDおよびCDを延長し、三角形を作り、「この辺長の比が簡単な整数比(5:6:7)だから、ヘロンの公式の適用が容易」と歌いながら、答(75√6)の表味に満足し、解答送信時には、隠し味(7:5:6)に気づいておりませんでした。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントを有難うございます。
葉が白くなるのでよく目立ちます。
季節が進めば全部緑に戻ってしまうのが不思議です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとTBとナイス!を有難うございます。
昨日の新着になかったので、貴女が記事にされているとは知りませんでした。
貴女の記事も拝見しましたが、季節感があっていいですね。
なお、この記事は半夏生がメインの記事ではありませんので、
こちらからのTBは遠慮させていただきます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
一般の四角形といっても、
AB≧PB/2,DC≧PC/2 が言えないといけません。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
私も例年は群生を見に行くのですが、今年は機会がありませんでした。
群生は見事ですが、写真にするときは難しいです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難うございます。
所々、見られる場所はあるのですが、少なくなっているそうです。
葉の白がよく目立つので、花の白は霞んでしまいます。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
[解答2]の図形的解釈がメインなのですが、
756が三角形の辺と面積に入れることができたのはラッキーでした。

Yasuko  
No title

こんばんは(^o^)丿

遅くなりました。

半夏生~~葉っぱが真っ白になるのが不思議ですね。
近頃・・・文化園にはいってないのです♪

ナイス☆彡

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとナイス!を有難うございます。
これは違う場所で撮ったものですが、
半夏生は錦織公園でたくさん見られます。

樹☆  
No title

お昼からは半夏雨となりましたよ~

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、再度のコメントを有難うございます。
こちらは昨日は降りませんでした。