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[答760] 漸化式で表された数列

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答760] 漸化式で表された数列


 an (n=1,2,3,4……) が、a1=1,an<n のとき an+1=an+n,an≧n のとき an+1=an-n

 で、定義されているとき、a1=1,a2=0,a3=2,a4=5,a5=1,…… ですが、

 a53=? a54=? また、a1 から a54 までの和 S54=?


[解答]

 k を自然数とし、an=m (k≦m<n) のとき、

 an+1=an+n=m+n≧n+1 だから、an+2=an+1-(n+1)=m+n-(n+1)=m-1 で、

 an+2=m-1<n+2 だから、an+3=an+2+(n+2)=m-1+(n+2)=m+n+1 です。

 よって、an+an+1=an+2+an+3=2m+n=2an+n です。

 また、an+2k=m-k ,an+2m=0 になり、

 an と an+2m の間に値が 0 になる項はありません。

 次に、ある自然数 k について、ak=0 のとき、ak+1=k だから、

 k より大きく an=0 を満たす最小の自然数 n は n=k+1+2k=3k+1 です。

 また、ak+1+ak+2=ak+3+ak+4=……=a3k+a3k+1=2ak+1+(k+1)=3k+1 です。

 a2=0 なので、an=0 となる n は順に、 2 ,3・2+1=7 ,3・7+1=22 ,3・22+1=67 ,…… です。

 a1=1,a2=a7=a22=a67=0 、a3+a4=a5+a6=7 、

 a8+a9=a10+a11=……=a20+a21=22 、a23+a24=a25+a26=……=a65+a66=67 、

 よって、S54=1+7・2+22・7+67・16=1241 です。

 a22=0 だから、a23=22 、0≦k≦22 において a23+2k=22-k だから、

 k=15 として、a53=7 になり、a54=7+53=60 ( a54=67-7=60 )です。

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Comments 14

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アキチャン  
No title

ブッドレアっておぼえましたよ(笑)
前より少し薄いピンク色♪本当にかわいいです(o^-^o)

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
今日はピンクですネ!!
紫のブッドレアはよく見掛けますがピンクは少ないです

ナイス♪

ニリンソウ  
No title

ピンクもあったんですね!
という事は白もあるのかな? なんて思ってしまう
花探しが上手いですね。

ナイス

Yasuko  
No title

おはようございます(^O^)

ピンクも美しいですね。
見かけるのは、ほとんど紫ですが、
ピンクのブッドレアが咲いてるお家もみかけます(◕ฺ ̄(エ) ̄◕ฺ)ポッ

ナイス☆彡

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
面白い問題だったのに…説得力のある(演繹的な)解法でなく…^^;
帰納的推論(いい加減な…^^;)で…求めましたぁ…Orz~

具体的な数列を並べられて一般式を求める問題だったら...達磨だったと思います…^^;…
調べるとあるものですね☆
A008343 a(n+1) = a(n)-n if a(n) >= n else a(n)+n.
1, 0, 2, 5, 1, 6, 0, 7, 15, 6, 16, 5, 17, 4, 18, 3, 19, 2, 20, 1, 21, 0, 22, 45, 21, 46, 20, 47, 19, 48, 18, 49, 17, 50, 16, 51, 15, 52, 14, 53, 13, 54, 12, 55, 11, 56, 10, 57, 9, 58, 8, 59, 7, 60, 6, 61, 5, 62, 4, 63,3,64,2,65,1,66,0,67,135,66,136,65,...

tsuyoshik1942  
No title

数字を書き並べました。最初は一項一項慎重に、そのうち規則が見えてきました。

後刻、「こんなのも、数列なのか? もしかして」と検索し、スモークマンさんと同じものを目にしました。
やどかりさんと整数列大辞典の両者に感動しました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ブッドレアの名前を覚えられましたか。
よく見かける花なので、そのうちアキチャンさんのブログにも登場しますかね?

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難うございます。
ピンクの花には優しさが感じられますね。
見かけることは少ないですが、綺麗に咲いてくれていました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
残念ながら、今年はまだ白のブッドレアには出会えていません。
出会えたらまた載せようと思います。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
やはりピンクより紫が多いですね。
ところで、ブッドレアが咲いている家って大きな家なんでしょうね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
2つの0になる項の間の項数または和を与えて、
2つの0が第何項かを求めるような問題などいろいろな出題ができそうな数列です。
こんなものまで、整数列大辞典には載っているのですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
このようなものは慎重に書き並べ、性質を見つけるのが一番ですね。
「こんなのも、数列なのか? もしかして」と検索してみるのも
文明の利器を利用した検算のようなものですね。

樹☆  
No title

こんばんは
ブットレアと言うのですか?
見かけたことはあっても名前は初めて知りました。。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、コメントとナイス!を有難うございます。
ブッドレア、名前を知れば親しみがわきますね。
よく見かける花です。