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[答72] 三角関数を最大にするθ

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答72] 三角関数を最大にするθ


 f(θ)=4sinθ-sin4θ (0≦θ≦π) のとき、f(θ)を最大にするθの値は?



[解答]

 f'(θ)=4cosθ-4cos4θ=4(cosθ-cos4θ)=8sin(5θ/2)sin(3θ/2)

 f(0)=0,

 0<θ<2π/5 のとき f'(θ)>0,

 f(2π/5)=5sin(2π/5),

 2π/5<θ<2π/3 のとき f'(θ)<0,

 f(2π/3)=3sin(π/3),

 2π/3<θ<4π/5 のとき f'(θ)>0,

 f(4π/5)=5sin(π/5),

 4π/5<θ<π のとき f'(θ)<0,

 f(π)=0

 よって、θ=2π/5 のとき、f(θ)は最大になります。



[参考]

 0<θ<π のとき、sinθは2辺の長さが1で間の角がθの二等辺三角形の面積の2倍です。

 したがって、半径が1の円に内接する正n角形の面積は、(n/2)sin(2π/n) になって、

 f(2π/5)=5sin(2π/5)=2×(半径が1の円に内接する正五角形の面積),

 f(2π/3)=3sin(π/3)=半径が1の円に内接する正六角形の面積,

 f(4π/5)=5sin(π/5)=半径が1の円に内接する正十角形の面積,

 となります。極値にすべて意味があります。


 また、π/4<θ<π/2 のとき、0<2π-4θ<π, -sin4θ=sin(2π-4θ) だから、

 f(θ)は半径が1の円に内接する五角形の面積の2倍です。

 正五角形のとき、すなわち、θ=2π-4θ のときに最大になります。

 これ以外の範囲で最大にならないことは、y=4sinθ, y=sin4θ のグラフから分かります。

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Comments 7

There are no comments yet.
ヤドカリ  
No title

普通、弧度法でθ=2π/5 と答えるべき問題ですが、第72問で、72゚との解答が多くありました。
私としては隠し味の心算でした。

いっちゃん  
No title

こんばんは~^^

解答を見てもコロンブスの卵のようになぁんだそうか!ってわけにはいきませんね。。笑
私はお花を見て楽しませていただきます。
いろんな花のよせ鉢ですてきです。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
分かりやすい問題も出題できればいいのですが、中々納得できる問題を作れません。

アキチャン  
No title

おはようございます。
たいへん難しいです f(^_^;
私もお花で楽しませていただきます (o^-^o)

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントを有難う御座います。
この問題は三角関数ですので慣れていないと難しいと思います。
花で気持ちを落ち着けて頂ければ結構です。

ヤドカリ  
No title

鍵コメさん、それは不思議ですね。
でもよかった。新しいのは、来るまでに時間がかかりますから。

ヤドカリ  
No title

鍵コメさん、ご心配なく。
昨年末に問題を出し過ぎ、解答説明に追われているだけです。