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[答761] 扇形の半径

ヤドカリ

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[答761] 扇形の半径


 半径が r ,中心角が 90゚ の 扇形OAB の 弧AB上に 点Pがあって、

 AP=4√2,BP=6 であるとき、半径 r は?


[解答1]

 弧ABの中心角が 90゚ だから、円周角は 45゚ 、∠APB=135゚ です。

 余弦定理により、AB2=(4√2)2+62-2・(4√2)・6・cos135゚=116、

 AB=2√29 になり、r=AB/√2=√58 です。


[解答2]

 OAを底辺とするときの△AOPの高さを x ,OBを底辺とするときの△POBの高さを y とすれば、

 x2+y2=r2 になり、

 AP2=(r-y)2+x2=r2-2ry+y2+x2=2r(r-y)=32 、

 BP2=(r-x)2+y2=r2-2rx+x2+y2=2r(r-x)=36 、

 r(r-y)=16 ,r(r-x)=18 になり、

 辺々割って、(r-y)/(r-x)=8/9 、9r-9y=8r-8x 、r=9y-8x になります。

 これを x2+y2=r2 に代入して、

 x2+y2=(9y-8x)2 、80y2-144xy+63x2=0 、(4y-3x)(20y-21x)=0 、y=3x/4,21x/20 、

 r=9y-8x より、y=3x/4 のとき r=-5x/4 で不適、y=21x/20 のとき r=29x/20 です。

 x=20r/29 として r(r-x)=18 に代入し、9r2/29=18 、r2=58 、r=√58 です。


[解答3]

 弧BAと半径BOを延長して BCを直径とする半円を作ります。

 トレミーの定理より AB・PC=AP・BC+PB・AC 、(√2)r・PC=(4√2)・2r+6・(√2)r 、PC=4・2+6=14 、

 三平方の定理より (2r)2=BC2=PB2+PC2=62+142 、 r2=72+32=58 、r=√58 です。


[解答4]

 右図のように、90゚ ずつ回転した4個をまとめて円にすれば、

 (2r)2=(4+6+4)2+62=142+62 、 r2=72+32=58 、r=√58 です。

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Comments 20

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uch*n*an  
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これはいろいろと考えられる楽しい問題でした。最近こういう問題が少ないような。
いろいろと思い付いたのですが,私のまとめた解法は四つ。
(解法1)は,三角関数ですが,余弦定理は面白くないので少し違った方法で遊んでみました。
(解法2)は,途中の計算の仕方が少し違いますが,[解答2]と同じような解法。
(解法3)は,[解答1]と等価ですが,余弦定理を使うまでもなく三平方の定理で済ませました。
(解法4)は,(解法3)をアレンジした解法ですが,今思うと,[解答4]を 1/4 の円で考えたような解法です。
[解答4]まで持って行けずに満足してしまったのは残念。
なお,[解答3]には気づいていましたが,まぁいいだろう,と思ってまとめませんでした。

さっちゃんこ  
No title

こんにちは♪
真っ白のブッドレア 余り見かけませんね!?
初めてみましたがとても綺麗ですね♪

ナイス♪

スモークマン  
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グーテンターク ^^
難問続きの中...ホット一息つける問題でした♪
(洗脳されてる ^^)わたしゃ...トレミーで考えましたが…^^;v
[解答1]もシンプルですね☆
[解答4]は対称性を活かした奇麗な方法ね☆…Orz~

ゆうこ つれづれ日記  
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お花は、お初です。
最初、カシワバアジサイかと思いましたが
皆さんのコメントを見て違うってわかったわ~~
アップにするとまた可愛いお花なんですね。
ナイス☆

ニリンソウ  
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やっぱり白もあったんですね!
ナイス

tsuyoshik1942  
No title

いろいろな解き方があるのですね!自分もいくつか考えました。
なかで、自分の好みは以下でした。

APの背中にAPを斜辺とする二等辺直角三角形⊿APQ(2辺=4)を貼り付けると、
直角三角形⊿ABQが作られ、AB^2=(6+4)^2+4^2

アキチャン  
No title

こんにちわ。
外観よりアップで見ると、可愛いですね(o^-^o)

こっこちゃん  
No title

こんにちは

こちらも 柏葉紫陽花と 思いました (笑) ナイス☆

ヤドカリ  
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樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ブッドレアの白に出会いました。
残念ながら、天気が悪く蝶は来ませんでした。

ヤドカリ  
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yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
成程、カシワバアジサイのような咲き方ですね。
今年になって初めて見かけました。

ヤドカリ  
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uch*n*anさん、早速のコメントを有難うございます。
細かい違いも含めるといろいろな解き方があり、まとまりません。
最近こんな問題が少ないのは、ただ単に思いつかないからで、
簡単でも面白い問題を授かりたいです。

ヤドカリ  
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さっちゃんこさん、早速のコメントを有難うございます。
確かに真っ白なブッドレアはなかなか見かけません。
全体より接写する方が綺麗でした。

ヤドカリ  
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スモークマンさん、コメントを有難うございます。
難問続きにしているわけではありませんが、
簡単で気の利いた問題はなかなか授かりません。

ヤドカリ  
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ゆうこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
ブッドレアはここ何年かよく見かけるようになりました。
紫が多いのですが、白はなかなか見かけません。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
白のブッドレアにも出会うことができました。
長居植物園の蓮を見に行く手前の長居公園内です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
135゚ を含む三角形は直角二等辺三角形をくっつけると
直角三角形になって三平方の定理が使えますね。
その説明を省略し、余弦定理で済ませました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難うございます。
アップして見ると可愛い花が密集していて
更にこの花の魅力を感じます。

ヤドカリ  
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こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難うございます。
一見、カシワバアジサイにも見えますね。
やっと出会えた白いブッドレアの花でした。

ひとりしずか  
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白のレッドブア見たことないような・・・
かなりの大きさのようで迫力ありそう~
ナイス☆

ヤドカリ  
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ひとりしずかさん、コメントとナイス!を有難うございます。
白のブッドレアはあまり見かけませんが、
他のブッドレアと同じように沢山の可愛い花が密集していてきれいです。