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[答762] 放物線と直線と面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答762] 放物線と直線と面積


 a を正の定数として、xy-平面上で、

 y=|x(x-a)| , y=mx (0<m<a) のグラフで囲まれる2つの部分の面積の和の最小値が 1 のとき、

 y=-x(x-a) , y=mx のグラフで囲まれる部分の面積は?


[解答]

 図のように、3つの部分の面積を A,B,C とし、S(m)=A+B とします。

 -x(x-a)=mx とおくと、x=0,a-m 、

 A=∫0a-m {-x(x-a)-mx}dx=(a-m)3/6 、

 -x(x-a)=0 とおくと、x=0,a 、

 A+C=∫0a {-x(x-a)}dx=a3/6 、

 x(x-a)=mx とおくと、x=0,a+m 、

 A+B+2C=∫0a+m {mx-x(x-a)}dx=(a+m)3/6 です。

 従って、

 S(m)=A+B=2A+(A+B+2C)-2(A+C)=2(a-m)3/6+(a+m)3/6-2・a3/6 、

  =-(m3-9am2+3a2m-a3)/6 、

 S'(m)=-(m2-6am+a2)/2 、

 よって、m=(3-2√2)a のとき S(m) は最小になります。

 S(m)=A+am2 だから、

 S(m)/A=1+am2/A=1+6am2/(a-m)3 になり、

 m=(3-2√2)a のとき、

 S(m)/A=1+6(3-2√2)2a3/{(2√2-2)a}3

  =1+6(√2-1)4/{8(√2-1)3}=1+3(√2-1)/4=(3√2+1)/4 、

 A/S(m)=4/(3√2+1)=4(3√2-1)/17=0.76297…… になります。

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Comments 20

There are no comments yet.
樹☆  
No title

おはようございます
こんなに可愛いお花なのに・・臭木の仲間ですか?
やはり・・黒い実になりますか?

ニリンソウ  
No title

私には臭い匂いもしませんよ~
いじめなければいいのです。
こんもりと紫陽花のような花姿ですね。

ナイス

Yasuko  
No title

おはようございます(^O^)/

綺麗なお花なのに~ボタンくザギって可愛そうですね。
ご近所さんに咲いてますが、可愛いお花ですよ♪

ナイス☆彡

さっちゃんこ  
No title

紫陽花が終わり待ち兼ねたようにボタンクサギが咲きだしましたね!!
もみじの里でも今咲いています
綺麗な花ですよね♪

ナイス♪

こっこちゃん  
No title

ボタンクサギ 名前のように

匂う花では 有りませんよね

てまりのように 真ん丸すきですね ナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

「解答」と同じく3ヶ所に分けて積分をしましたが、厳密にいえば、自分の分け方は(0~a-m),(a-m~a),(a~a+m)でした。

なお、「整関数の微積分の標準問題」と回答コメントにありましたが、
この類の問題への対応は、従来、インチキ手法の多かった自分としては、真っ当に積分し、微分し、答えが得られ、大変うれしかったです。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは同じように考えて計算試みるも変な値がでて来て行き詰まってしまいました…^^;
さいしょ…A=Bのはず(so…A=1/2)だと思ったのですが…
違うんですねぇ…?…なぜなのかわからないまんま…Orz~

たけちゃん  
No title

「A=Bでないのはなぜか」というより,A=Bである理由がありませんね.

面積をmの式で表す前に,最小となるときのmを求めることは可能です.
ただ,大して計算を楽にしないので,おすすめの方法とは言いにくいですが...

というのは,y=mxとy=-x(x-a) (0<x<a)の交点をPとすると,Pのx座標はa-m,
y=mxとy=x(x-a) (x>a)の交点をQとすると,Qのx座標はa+mですが,
最小となるとき,(a-m):(a+m)=1:√2が成り立ち,
このことから√2(a-m)=a+mとなり,m=(3-2√2)aが得られます.

たけちゃん  
No title

理由は,次のように説明できますが,説明してから使うとなると,
準備が大変すぎて使う気がしないところではあります.

y=-x(x-a)の極方程式をr=f(θ),y=x(x-a)の極方程式をr=g(θ)とし,
y=mxがx軸の正の向きとなす角をθ0とすれば,面積Sは,
(1/6)a^3+(1/2)∫[0..θ0](g(θ)^2)dθ-∫[0..θ0](f(θ)^2)dθであり,
dS/dθ0=(1/2)g(θ0)^2-f(θ0)^2となるので,
g(θ0)=√2*f(θ0)となるときにSは最小.

極方程式r=f(θ)で表される曲線のα≦θ≦βの部分について,その両端を
極と結んで得られる図形の面積が(1/2)∫[α..β](r^2)dθであることは,
例えば[答514]の[参考]の中で使われています.

アキチャン  
No title

こんばんわ。
綺麗なピンク色♪
このお花は見たことがないです。紫陽花に似てますね(o^-^o)

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
私はあまり近づいていないので臭気は感じませんでした。
紫陽花くらいの大きさでした。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
そう言われると、昨年も見たのですが、実の時期には見ていません。
今年は確かめてみたいと思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
私はあまり近づかなかったので匂いは感じませんでした。
仰るように、いじめなければ何ともないですよね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
これは堺市の都市緑化センターで見たものです。
小さい花が形よく集まっていて可愛いですよね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難うございます。
もみじの里は行ったことがありませんが、
ブログで見せて頂いている写真での印象で、
この花も似合いそうに思います。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとナイス!を有難うございます。
名前は良くないですが、形のいい花ですね。
丸い花の集まりが葉の上に乗っているようです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
貴殿の考え方の方が基本に忠実ですね。
計算を少しでも簡単にと思って、上の解答になりました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
A=B である理由はないのですが、
勘違いで3次関数のグラフの変曲点を通る直線を
イメージされたかと思っています。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難うございます。
「最小となるとき,(a-m):(a+m)=1:√2が成り立ち,」
というのを、紹介したいとも思いましたが、
本問に関しては、
「説明してから使うとなると,準備が大変すぎて使う気がしない」
ことは、私も同感です。
計算が簡単になる問題でしたら、答だけ出すには有効ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとナイス!を有難うございます。
紫陽花が終わりかけた頃にきれいに咲きます。
私は他でも見ましたが、貧弱なものでした。