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[答763] 格子点で出来る三角形

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答763] 格子点で出来る三角形


 放物線 y=x2 上の3つの格子点を頂点とする三角形で、外接円の半径が 85 であるのは何個?

 また、そのうち面積が最小のものの、3頂点のx座標は? (小さい順に並べて下さい)


[解答]

 3つの頂点の座標を A(a,a2),B(b,b2),C(c,c2) (a<b<c) とします。

 ベクトルを太字で表すと AB=(b-a,b2-a2),AC=(c-a,c2-a2) だから、

 △ABC={(b-a)(c2-a2)-(c-a)(b2-a2)}/2

  =(b-a)(c-a){(c+a)-(b+a)}/2=(b-a)(c-a)(c-b)/2 です。

 また、AB2=(b-a)2+(b2-a2)2=(b-a)2{1+(a+b)2} 、

 よって、AB=(b-a)√{1+(a+b)2} です。

 同様に、AC=(c-a)√{1+(a+c)2} 、BC=(c-b)√{1+(b+c)2} です。

 三角形において、4・(外接円の半径)・(面積)=(3辺の積) だから、

 4・85・(b-a)(c-a)(c-b)/2=(b-a)(c-a)(c-b)√〔{1+(a+b)2}{1+(a+c)2}{1+(b+c)2}〕 、

 簡単にすれば、1702={1+(a+b)2}{1+(a+c)2}{1+(b+c)2} です。

 1702 の約数のうち、1+n2 の形のものは、

 1+02=1,1+12=2,1+22=5,1+32=10,1+42=17,1+72=50,1+132=170,1+382=1445 だけで、

 1702=1・170・170,2・10・1445,10・17・170 で、a+b<a+c<b+c ですので、

 (a+b,a+c,b+c)=(-13,0,13) or {|a+b|,|a+c|,|b+c|}={1,3,38},{3,4,13} 、

 a+b,a+c,b+c の符号を考慮すれば、1+2・23=17 個考えられます。

 面積 (b-a)(c-a)(c-b)/2 が最小にするためには、

 ( (b+c)-(a+c),(a+c)-(a+b),(b+c)-(a+b) の値がなるべく小さくなるように考え )

 (a+b,a+c,b+c)=(-13,-4,-3),(3,4,13) 、(a,b,c)=(-7,-6,3),(-3,6,7) です。


[参考]

 17種類の三角形の 3点のx座標と面積をすべて書き出せば、

  (-7,-6,3,45),(-7,-6,10,136),(-6,3,10,504),(-7,3,10,595),

  (-3,6,7,45),(-10,6,7,136),(-10,-3,6,504),(-10,-3,7,595),

  (-20,-18,17,1295),(-20,-18,21,1599),(-18,17,21,2730),(-20,17,21,3034),

  (-17,18,20,1295),(-21,18,20,1599),(-21,-17,18,2730),(-21,-17,20,3034),

  (-13,0,13,2197) です。

 なお、横に並んだ4個ずつは共通の外接円をもちます。

 外心は上から順に (78,49),(-78,49),(57,364),(-57,364),(0,85) です。

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Comments 18

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

こちらでも今咲いているのを見ます
好きな色!
ナイス☆

ニリンソウ  
No title

ヤブカンゾウでしょうね!
鮮やかな色ですね。

ナイス

樹☆  
No title

おはようございます
ワスレグサって教えられて「ワスレナグサ」とごっちゃに
なったことが可笑しく思い出されました。
ヤブカンゾウ・・夏の野草の代表ですね^^

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
ヤブカンゾウが綺麗に咲きましたね。
オレンジの色が濃くて夏の暑さもはね除けてくれそうですね
素敵な花に朝から元気をもらえます(^_^)v

ナイス!!

Yasuko  
No title

おはようございます(^O^)/

ノカンゾウ、ヤブカンゾウ、ヘメロカリス???

(ヽ´ω`)ハァ…分からなくなりました。

ナイス☆彡

uch*n*an  
No title

これはなかなかの難問のように思います。
まず最初の山は,外接円の半径の条件をどう式にするか。
このサイトの常連さんならその道具は既出なので何とかなるかも知れませんが,
そうでないと手こずりそうです。下手にやるとかなりややこしい式になりそうです。
次の山は,得られた式を解くことです。これは難しくはないのですが,面倒。
結局,手を動かして調べるしかなさそうです。
もっとも,最初から割り切ってプログラムを組めば,それほどは難しくなさそうですが (^^;

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは...難しくてよく分からなかったです…^^;
85^2
=0^2+85^2
=13^2+84^2
=36^2+77^2
=40^2+75^2
=51^2+68^2

を満たす(x-p)^2+(x^2-q)^2=85^2 で探してみたものの…
けっきょくよく分からず…撃沈…Orz...

pea*hb*zu  
No title

数値代入で、求めたので、すっきりしなかった。解答の式を見て、完全な因数分解ができていたのにと、後から気付き、かなり残念。
外心 -(α+β)(β+γ)(γ+α)/2と(α、α^2)の距離=85から、170^2=(α、β、γに関する整式) が得られ、αに関して整理すると、170^2={(β+γ)^2+1}*{α^4+2*α^3*(β+γ)+α^2*{(β+γ)^2+2βγ+2}+2*α*(β+γ)*(βγ+1)+β^2*γ^2+β^2+γ^2+1)を得る。{β+γ)^2+1}という因数を見つけるのは、式変形していけば浮かび上がってくるので、厄介ではあるが可能。しかしその後の因数分解に行き詰った。
敗因は 、大事なことを見落としてしまったからである。α、b、γは等価で、170^2=(α、β、γに関する整式) の右辺の式は対称式なのであり、{β+γ)^2+1}という因数をもつなら、当然、{(α+β)^2+1}と{(γ+α)^2+1}という因数を持つ。これで一件落着だったのに、残念なことをした。
やどかりさんの4R*△ABC=abcとおく方がすっきりしているのだが、その式は忘却の彼方です

tsuyoshik1942  
No title

PCの力を借りて、答を当てただけです。
「解答」を楽しみにしていた一題ですが、今時点、未消化です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
そちらでも咲いていますか。
ひとりしずかさんの名前アイコンの色にも似ていますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントを有難うございます。
ヤブカンゾウが沢山咲いていました。
花びらが八重になっているのですぐわかります。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
花に見とれて他のことを忘れるという意味で「忘れ草」ですね。
「勿忘草」の方が forget-me-not ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難うございます。
ヤブカンゾウが沢山咲いています。
春の黄色と夏のオレンジ色は元気をもらえますね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ノカンゾウは一重、ヤブカンゾウは八重だから区別できます。
ヘメロカリスは属の総称で、萱草もその一種だと思います。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
仰るとおり、「外接円の半径」を式にするのは結構手こずりますね。
もしその式が間違っていたら整数解を求める計算が無駄になるので、
見直しも必要かも知れません。
なお、外接円の直径が 170 ですので、-85 から 85 まで
プログラムで調べるのがいちばん確実かも知れません。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
何気なく思いついて半径を設定しての出題でしたが、
解くと結構手応えがありました。
全部の解を求めるとなると大変でした。

ヤドカリ  
No title

pea*hb*zuさん、コメントを有難うございます。
因数分解に教訓を得られたようで、私の予想しない成果です。
それから、4R・△ABC=abc は三角比を使わない公式ですので、
有用だと私は思います。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
楽しみにされていた「解答」をごゆっくりご覧下さい。