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[答764] 三角関数の値

ヤドカリ

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[答764] 三角関数の値


 sin(π/7)・sin(2π/7)・sin(3π/7)・sin(4π/7)・sin(5π/7)・sin(6π/7)=?


[解答1]


 直径が 1 の正七角形の 1辺の長さを a ,2種類の長さの対角線の短い方を b,長い方を c とします。

 直径が 1 だから、a=sin(π/7),b=sin(2π/7),c=sin(3π/7) です。

 3辺が c,c,a の二等辺三角形,3辺が b,b,c の二等辺三角形,3辺が a,a,b の二等辺三角形の

 底角はそれぞれ 3π/7,2π/7,π/7 なので、

 2cos(π/7)=a/c,2cos(2π/7)=c/b,2cos(3π/7)=b/a になります。

 直径が 1 の正十四角形の 1辺の長さを x ,対角線の長さを短いものから a,y,c,z,1 とします。

 4辺が c,c,x,x の四角形の対角線は直交し、長さは a,1 だから、

 面積は 1・a/2=cx だから a=2cx 、余弦定理より、a2=4c2x2=x2+x2-2x2cos(6π/7) 、

 2c2=2+b/a になり、同様に、

 4辺が b,b,y,y の四角形から、2b2=2+a/c 、4辺が a,a,z,z の四角形から、2a2=2-c/b になります。

 正七角形の頂点を結ぶ四角形でトレミーの定理により、

 4辺が a,a,b,c の四角形の対角線は b,c だから、ab+ca=bc 、

 4辺が a,b,b,b の四角形の対角線は c,c だから、ab+b2=c2 、b2-c2=-ab

 となって、これを用いて計算すれば、

 sin(π/7)・sin(2π/7)・sin(3π/7)・sin(4π/7)・sin(5π/7)・sin(6π/7)

  =sin2(π/7)・sin2(2π/7)・sin2(3π/7)=a2b2c2=(2a2)(2b2)(2c2)/8

  =(2-c/b)(2+a/c)(2+b/a)/64=(2b-c)(2c+a)(2a+b)/(64abc)

  =(2b-c)(4ca+2a2+2bc+ab)/(64abc)=(2b-c)(4ca+2a2+2ab+2ca+ab)/(64abc)

  =(2b-c)(6ca+2a2+3ab)/(64abc)=(2b-c)(2a+3b+6c)/(64bc)

  =(4ab-2ca+6b2+9bc-6c2)/(64bc)=(4ab-2ca+9bc-6ab)/(64bc)

  =(9bc-2ab-2ca)/(64bc)=(9bc-2bc)/(64bc)=7/64 です。


[解答2]

 sin(6π/7)=sin(π/7), sin(5π/7)=sin(2π/7), sin(4π/7)=sin(3π/7) だから、

 与式=sin2(π/7)・sin2(2π/7)・sin2(3π/7)={1-cos(2π/7)}{1-cos(4π/7)}{1-cos(6π/7)}/8 です。

 また、cos4θ=cos3θ を満たす cosθ の異なる値は、0,cos(2π/7),cos(4π/7),cos(6π/7) です。

 cosθ=x とすれば cos2θ=2x2-1 、 cos3θ=4x3-3x 、

 cos4θ=2cos22θ-1=2(2x2-1)2-1=8x4-8x2+1 だから、

 8x4-8x2+1=4x3-3x 、(x-1)(8x3+4x2-4x-1)=0 として、

 8x3+4x2-4x-1=0 の解が cos(2π/7),cos(4π/7),cos(6π/7) です。

 x=1-t とおけば、8(1-t)3+4(1-t)2-4(1-t)-1=0 、-8t3+28x2-28x+7=0 、

 この解が、1-cos(2π/7),1-cos(4π/7),1-cos(6π/7) ですので、解と係数の関係により、

 {1-cos(2π/7)}{1-cos(4π/7)}{1-cos(6π/7)}=7/8 、与式=7/64 です。


[解答3]

 sin(6π/7)=sin(π/7), sin(5π/7)=sin(2π/7), sin(4π/7)=sin(3π/7) だから、

 与式=sin2(π/7)・sin2(2π/7)・sin2(3π/7) です。

 また、sin7θ=0 を満たす sinθ の異なる値は、0,±sin(π/7),±sin(2π/7),±sin(3π/7) です。

 そこで、 sinθ=x として sin7θ を表します。

 まず、sin3θ=3x-4x3 です。

 sin5θ+sinθ=2sin3θcos2θ=2(3x-4x3)(1-2x2)=16x5-20x3+6x だから、

 sin5θ=16x5-20x3+5x 、

 sin7θ+sin3θ=2sin5θcos2θ=2(16x5-20x3+5x)(1-2x2)=-64x7+112x5-60x3+10x だから、

 sin7θ=-64x7+112x5-56x3+7x です。

 sin7θ=0 を解けば、x=0 または -64x6+112x4-56x2+7=0 で、

 -64x6+112x4-56x2+7=0 の解が x=±sin(π/7),±sin(2π/7),±sin(3π/7) だから、

 解と係数の関係により、その積は、-sin2(π/7)・sin2(2π/7)・sin2(3π/7)=-7/64 、

 よって、sin2(π/7)・sin2(2π/7)・sin2(3π/7)=7/64 です。


[解答4]

 sin(6π/7)=sin(π/7), sin(5π/7)=sin(2π/7), sin(4π/7)=sin(3π/7) だから、

 与式=sin2(π/7)・sin2(2π/7)・sin2(3π/7) です。

 ここで、

 sin2θ=(1-cos2θ)/2=(2-2cos2θ)/4={(1-cos2θ)2+sin22θ}/4

  =(1-cos2θ-i・sin2θ)(1-cos2θ+i・sin2θ)/4 で、

 z=cos(2π/7)+i・sin(2π/7) とおけば、

 zk=cos(2kπ/7)+i・sin(2kπ/7) 、z7-k=cos(2kπ/7)-i・sin(2kπ/7) だから、

 sin2(kπ/7)={1-cos(2kπ/7)-i・sin(2kπ/7)}{1-cos(2kπ/7)+i・sin(2kπ/7)}/4=(1-zk)(1-z7-k)/4 、

 与式=(1-z)(1-z6)(1-z2)(1-z5)(1-z3)(1-z4)/64 です。

 ここで、z,z2,z3,z4,z5,z6 は 1の虚数7乗根だから、

 (x-z)(x-z2)(x-z3)(x-z4)(x-z5)(x-z6)=x6+x5+x4+x3+x2+x+1 。

 x=1 を代入すれば、(1-z)(1-z2)(1-z3)(1-z4)(1-z5)(1-z6)=7 だから、

 与式=7/64 です。


[解答5]

 z=cos(π/7)-i・sin(π/7) とおきます。

 zk=cos(kπ/7)-i・sin(kπ/7),1/zk=cos(kπ/7)+i・sin(kπ/7) だから、

 sin(kπ/7)=(1/zk-zk)/(2i) になり、

 与式=(1/z-z)(1/z2-z2)(1/z3-z3)(1/z4-z4)(1/z5-z5)(1/z6-z6)/(2i)6

  =(1-z2)(1-z4)(1-z6)(1-z8)(1-z10)(1-z12)/(-64z21)

 ここで、z2,z4,z6,z8,z10,z12 は 1の虚数7乗根だから、

 (x-z2)(x-z4)(x-z6)(x-z8)(x-z10)(x-z12)=x6+x5+x4+x3+x2+x+1 。

 従って、与式=(16+15+14+13+12+1+1)/{-64(cos3π-i・sin3π)}=7/64 です。


☆ sin(π/n)・sin(2π/n)・……・sin{(n-1)π/n}=n/2n-1 も同様に導けます。


[解答6] uch*n*anさんのコメントを参考に、純粋に三角関数で

 P=sin(π/7)sin(2π/7)sin(3π/7) ,Q=cos(π/7)cos(2π/7)cos(3π/7) とします。

 Q=-sin(π/7)cos(π/7)cos(2π/7)cos(4π/7)/sin(π/7)

  =-(1/2)sin(2π/7)cos(2π/7)cos(4π/7)/sin(π/7)=-(1/4)sin(4π/7)cos(4π/7)/sin(π/7)

  =-(1/8)sin(8π/7)/sin(π/7)=1/8 です。

 求めるのは P2 の値ですので、

 P2=sin2(π/7)sin2(2π/7)sin2(3π/7)={1-cos(2π/7)}{1-cos(4π/7)}{1-cos(6π/7)}/8 、

 Q2=cos2(π/7)cos2(2π/7)cos2(3π/7)={1+cos(2π/7)}{1+cos(4π/7)}{1+cos(6π/7)}/8 だから、

 4(Q2-P2)=cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)+cos(2π/7)cos(4π/7)cos(6π/7) 。

 2{cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)}sin(π/7)

  =sin(3π/7)-sin(π/7)+sin(5π/7)-sin(3π/7)+sinπ-sin(5π/7)=-sin(π/7) だから、

 cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2 、

 cos(2π/7)cos(4π/7)cos(6π/7)=cos(2π/7){-cos(3π/7)}{-cos(π/7)}=Q 、

 よって、4(Q2-P2)=-1/2+Q 、4(1/64-P2)=-1/2+1/8 、P2=7/64 です。

.

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Comments 16

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ひとりしずか  
No title

ベンケイカズラですね
前に見せてもらって覚えていました
白と赤のバランスがいいですね~
ナイス☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ゲンペイクサギ(ゲンペイカズラ)です。
今年も美しく咲いていましたので撮りました。

樹☆  
No title

おはようございます
海で泳ぐなら気をつけてくださいね。。

赤と白で源平・・こんなに可愛いお花なのに。。
わたしが蜂ならすぐ蜜を吸いにとまりたいです。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これはいろんなサイトを調べながら考えました ^^;
sin7θ=0 をチェビシェフ多項式の(T(nθ))'=n*S(θ)から求め…
根と係数の関係からでしたが...符号の正負が合わない気がしてましたが…解答4ですっきり☆
[解答5]がスマートすぎますね♪
[解答6]は…巧い発想ですね…cosの積に比べてsinの積がややこしくなってしまうのはなぜなんでしょうねぇ…^^;…Orz~

uch*n*an  
No title

これは,予想どおり,いろいろな解法のある問題でしたね。
リコメに「トレミーの定理」というキーワードがあったので私も少し考えてみましたが,
簡単にはいきませんでした。それを使った[解答1]を見るとやはり簡単ではないようです。
解答を見る限りは,一般化も容易な複素数を使った[解答4]と[解答5]がいいかな。
私の解法は三つ。
(解法1)は,[解答4]と等価ですが,一般化が難しい方向に式変形をしてしまいました。
(解法2)は,[解答6]のもとになった解法です。
(解法3)は,(解法2)の方向で見直したものです。[解答6]と似た解法ですが少し式変形が違います。
比較のために書いておきましょうか。
個人的には,特に工夫もなく単純な三角関数の計算だけで値が求まるのが気に入っています。

uch*n*an  
No title

(解法3)
P = sin(π/7)sin(2π/7)sin(3π/7)sin(4π/7)sin(5π/7)sin(6π/7)
= (sin(π/7)sin(2π/7)sin(3π/7))^2
= (1 - cos(2π/7))(1 - cos(4π/7))(1 - cos(6π/7))/8
= (1 - Q + R - S)/8
Q = cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7)
R = cos(2π/7)cos(4π/7) + cos(4π/7)cos(6π/7) + cos(6π/7)cos(2π/7)
S = cos(2π/7)cos(4π/7)cos(6π/7)

uch*n*an  
No title

ここで,
R = (cos(2π/7) + cos(6π/7) + cos(2π/7) + cos(10π/7) + cos(4π/7) + cos(8π/7))/2
= (cos(2π/7) + cos(6π/7) + cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7))/2
= cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) = Q
また,
(8sin(2π/7)sin(4π/7)sin(6π/7))S
= sin(4π/7)sin(8π/7)sin(12π/7) = sin(2π/7)sin(4π/7)sin(6π/7) > 0
S = 1/8
なので,P = (1 - Q + Q - 1/8)/8 = 7/64,になります。

tsuyoshik1942  
No title

多くの「解答解説」ありがとうございます。勉強させていただきます。
自分はインチキ手法で答を得た後、皆さんへの「回答リコメ」を参考に、いろいろと再挑戦させていただきましたが、どれもものにならず、今日を待っておりました。

ニリンソウ  
No title

ゲンペイクサギ!
白い花から赤い花が飛び出すの?
なんと不思議な植物ですね。

ナイス

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
今日は海の日ですね。近ければ海に行きたいです。
ところで、源平の名前がピッタリの色の花です。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
チェビシャフの多項式も有用ですね。[解答2]はそれと似た解放です。
それよりも複素平面を使うのが分かり易いです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
{1-cos(2π/7)}{1-cos(4π/7)}{1-cos(6π/7)} を見ると私はどうしても
多項式を利用したくなってしまいます。
符号を変えたものが簡単に求められることはひとつの収穫です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
いろいろと解法があり、長くなってしまいました。
納得して頂ければ有難いです。

さっちゃんこ  
No title

真っ白の顎に真っ赤な花が綺麗ですね。
今年は剪定が悪かったのかもみじの里のは花付きが悪かったです。

ナイス♪

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとナイス!を有難うございます。
白いのは萼で赤いのが花です。色合いが綺麗です。
仰るとおり、不思議な植物ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントを有難うございます。
もみじの里でもこの花を植えているのですか。
花に特長があって、目を引きますね。