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[答765] 平面と辺の交点

ヤドカリ

ヤドカリ



[答765] 平面と辺の交点


 正方形ABCDを底面とする正四角錐O-ABCDの 辺OA上に点P,辺OC上に点Q,辺OC上に点R があり、

 OP=30,OQ=57,OR=20 であるとき、平面PQRと辺ODの交点をSとすれば OS=?


[解答1]

 太字はベクトルを表すものとします。

 OA,OB,OC,OD 方向の単位ベクトルを abcd とすれば、acbddacb です。

 また、OP=30aOQ=57bOR=20c になり、OS=sd とすれば、QP=30a-57bQR=20c-57b で、

 QS=sd-57b=s(acb)-57b=sa+sc-sb-57b

  =s(QP+57b)/30+s(QR+57b)/20-sb-57b=(s/30)QP+(s/20)QR+(15s/4-57)b

 Sが平面PQR上にあり、QPQRb は一次独立だから、

 15s/4-57=0 、s=57・4/15=76/5 、OS=s=76/5 になります。


[解答2]

 まず、∠POR=∠QOS です。

 Oから正方形ABCDにおろした垂線と平面PQRとの交点をHとすれば、OH は∠POR,∠QOS の二等分線です。

 △OPR:△OQS=OP・OR:OQ・OS ,△OPH:△OQH:△ORH:△OSH=OP:OQ:OR:OS になります。

 よって、OP・OR:OQ・OS=(OP+OR):(OQ+OS) 、OP・OR・(OQ+OS)=OQ・OS・(OP+OR) です。

 本問では、30・20・(57+OS)=57・OS・(30+20) 、12(57+OS)=57・OS 、OS=76/5 です。


☆ OP・OR・(OQ+OS)=OQ・OS・(OP+OR) の両辺を OP・OQ・OR・OS で割ると、

 1/OS+1/OQ=1/OR+1/OP という美しい式が得られます。

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Comments 20

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Yasuko  
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おはようございます♪

綺麗に撮れてますね
ヒオウギ~私のはあまり綺麗に撮れてないので(^=^;

ナイス☆彡

uch*n*an  
No title

これはいろいろ考えられる楽しい問題でした。
ただ,いろいろな解法が頭に浮かんだのに,[解答2]のような簡単な解法を見逃してしまいました。
残念。
☆の関係は美しいですね。

樹☆  
No title

おはようございます
今年は蝉もお花の開花も早い気がします。
ヒオウギ・・・一日花ですね。。

数学を愛するひとは上の方のように
「形が美しい、きれいな式だ」と表現されるのが
すてきだなと思ってます。。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~
梅雨が明けたのですか?
これからじりじりと暑い日が続きますね。
お体には気を付けて…
奇麗なお花にナイス☆

tsuyoshik1942  
No title

「解答2」確かに華麗ですね!
また、「解答1」のような簡明な解答を目にするたびに、ベクトルは強力な武器と思うのですが、相変わらず不如意です。
自分は、OHを求める泥臭い手法でした。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ヒオウギもカンゾウと同じような橙色ですね。
鮮やかに咲いていました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントを有難うございます。
都井岬がヒオウギの自生地なのですか。
海の近くに馬がいる長閑な風景を思い出します。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難うございます。
Pを下げても同じことが言えますが、あくまで立体の場合です。
平面になってしまうとSが平面上のどこにあっても同一平面上です。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ヒオウギも錦織公園で撮りました。
秋に真っ黒な実のぬばたまも見に行こうと思います。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難うございます。
[解答2]が単純でいいでしょう。この関係に気づいての出題です。
∠POR=120゚ の場合はさらに 1/OH=1/OP+1/OR という美しい関係になります。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
「形が美しい、きれいな式だ」というのは、
複雑な式が多い中、結果的に単純な式になった場合のことです。
数学を好きになるひとつの要因でもあります。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
当方では梅雨明け前からほとんど雨もなく暑い日が続きます。
道東南部や道北の涼しさのおすそ分けが欲しいです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
ベクトルでの解法は、空間座標で解かれるのを予想し、
形が簡単なベクトルを使ったものです。
仰るとおり、ベクトルは強力な武器です。

amori  
No title

あの、基本的な用語の質問なのですが、正四角錐というのは、底面が正方形かつ頂点が正方形の鉛直上にある、という条件を満たせば
よいのでしょうか?
全ての辺の長さが等しい場合はまた別の名前がありますか?

たけちゃん  
No title

amoriさんへ

(私が答えるのも変かもしれませんが)

正四角錐とは,
「底面が正方形かつ頂点が正方形の中心を通る鉛直線上にある」…(*)
四角錐のことのようです.
本問を解くには,条件OA=OB=OC=OD ((**)とする) が必要なので,
出題されたときに,正四角錐の定義を確認し,上記と確かめました.

(*)を満たす四角錐O-ABCDは(**)を満たすことは明らかなので,
安心して解くことができました.

ヤドカリ  
No title

amoriさん、
正○角錐は、底面が正○角形で側面がすべて合同な二等辺三角形である角錐
というように解釈するのが一般的だと思います。
全ての辺の長さが等しい正四角錐に特別な名前はないと思いますが、
正八面体を2つに切った形のことですね。
特別な名前がなくても、「全ての辺の長さが等しい四角錐」と表せば分かるでしょう。

たけちゃんさん、
説明をいただき、ありがとうございます。

amori  
No title

解説ありがとうございました。最初は側面が正三角形と思って解いて、結果的に二等辺三角形でも同じだな、気がつきました。
この手の問題は都合の良い条件で解いてから一般化するというのも手ですね。

ヤドカリ  
No title

amoriさん、コメントを有難うございました。

uch*n*an  
No title

>∠POR=120゚ の場合はさらに 1/OH=1/OP+1/OR という美しい関係になります。
はい,これは私の一般的な解法の特殊な場合なので気付いていました。
ベクトルの解法は気付いていましたが,所詮,比の範囲で解けるので初等幾何の方が好みです。
また,「平面PQR と 辺OD の交点」なので,ベクトルよりも空間座標の方が自然,と思いました。
まぁ,ベクトルは線形に関する強力な武器なので,このぐらいの問題にはもったいないな,
という気もしています (^^;

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
ベクトルは大げさだったかも知れませんね。
仰るとおり、空間座標が自然でしょう。
ただ、座標より表記が簡単だと思って、ベクトルで書きました。