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[答766] 楕円の面積

ヤドカリ

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[答766] 楕円の面積


 図のように、長軸と短軸の長さの比が 5:4 である楕円が 1辺が 1 の正方形に内接するとき、

 この楕円の面積は?


[解答1]

 楕円の長半径を 5k,短半径を 4k とし、長軸を x軸上に,短軸を y軸上にとれば、

 楕円の方程式は x2/(5k)2+y2/(4k)2=1 、 16x2+25y2=400k2 です。

 正方形の頂点(1/√2,0)を極とする極線は (16/√2)x=400k2 、x=(25√2)k2 です。

 これを楕円の方程式に代入し、 20000k4+25y2=400k2 、 y2=16k2(1-50k2) 、

 よって、{1/√2-(25√2)k2}2=16k2(1-50k2) 、 (1-50k2)2=32k2(1-50k2) 、

 ここで、5k<1/√2 より、50k2<1 、よって、1-50k2=32k2 、 k2=1/82 です。

 楕円の面積は π(5k)(4k)=20πk2=20π/82=10π/41 です。


[解答2]

 この楕円の準円の直径は正方形の対角線の長さと等しく、√2 です。

 ( 楕円・双曲線と準円 https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-949.html 参照 )

 楕円の長半径を 5k,短半径を 4k とすれば、2辺が 10k,8k である長方形の対角線の長さも等しく、

 (10k)2+(8k)2=2 、 k2=1/82 です。

 楕円の面積は π(5k)(4k)=20πk2=20π/82=10π/41 です。


[解答3]

 楕円の長軸方向に 2/√5 倍,短軸方向に (√5)/2 倍します。

 楕円は円になり、その半径を r とし、正方形が菱形になり、その1辺を a とすれば、

 菱形の 1/4 である直角三角形の2辺は、(1/√2)・2/√5=√(2/5) ,(1/√2)(√5)/2=√(5/8) だから、

 三平方の定理より、 a2=2/5+5/8=41/40 です。

 この菱形の面積は 4・ar/2=1 だから、4a2r2=1 、4(41/40)r2=1 、r2=10/41 、

 求める楕円の面積は、この円の面積と等しく、πr2=10π/41 になります。


[解答4]

 楕円を長軸方向に 4/5 倍(または単軸方向に 5/4 倍)すると、

 正方形は対角線の長さの比が 5:4 の菱形,楕円はその菱形の内接円になり、

 求める楕円の面積は、菱形の面積に対する内接円の面積になります。

 一般に、多角形に内接円が存在するとき、

 その半径 r は、多角形の周囲の長さを L,面積を S とすれば、r=2S/L ですので、

 内接円の面積の割合は、πr2/S=4πS/L2 です。

 菱形の対角線の長さを 2・5,2・4 とすれば、面積は 40,1辺は √41 ですので、

 4π・40/(2√41)2=10π/41 になります。

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Comments 19

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ひとりしずか  
No title

はじめて見る花のような気が・・
花色が涼を運んでくれそうな~
ナイス☆

樹☆  
No title

おはようございます
このお花なんですか?ブラシみたいですね^^
紫のいろってすてきです。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます♪
沢山のポンテデリア が涼しげに咲いていますね
小さな花ですが透き通るような薄紫色の花びらが好きです♪

ナイス♪

ニリンソウ  
No title

葉っぱは冥加のようで花はラベンダーのようで!?
多分初めての花ですよ
花探しがお上手です ナイス

たけちゃん  
No title

準円がすぐ思い浮かんだので,[解答2]で解きました.
改めて見てみると,次の方法も有力かも.

外接正方形は,楕円と同じ中心をもち,接点は各象限に1つずつ存在する.

楕円x^2/(5k)^2+y^2/(4k)^2=1 (k>0)と第1象限で接する直線は,
接点を(5kcosθ,4ksinθ)として,
(cosθ)x/(5k)+(sinθ)y/(4k)=1と表され,
その原点との距離は,
k/(√((cosθ)^2/25+(sinθ)^2/16))=k/(√(1/25+9(sinθ)^2/400).
これは,異なる2鋭角θに対して同じ値を与えない.

外接正方形の第1,第2象限での接線は,中心からの距離が等しいので,
2接線はy軸について対称になるしかなく,互いに垂直より,傾きは-1および+1.

たけちゃん  
No title

正方形の一辺が1だから,第1象限での接線はx+y=1/√2であり,
cosθ/(5k)=sinθ/(4k)=√2.
(sinθ)^2+(cosθ)^2=2(25+16)k^2=1からk=1/√82を得て,
楕円の面積は20πk^2=10π/41.

たけちゃん  
No title

解答2では,正方形の頂点が(1/√2,0)と明記されているので,
もしかすると上記が解答2の趣旨なのかもしれません.

実際は,準円x^2+y^2=41k^2に一辺1の正方形が内接することが言えれば,
その頂点が座標軸上であることは不必要で,
それを明らかとするのは少し抵抗があります.

上記で提示したのは,問題に提示された図(正方形の辺が水平/鉛直)を45°回転すれば,
楕円の長軸,短軸が水平/鉛直になることを示して,それを利用したものです.

tsuyoshik1942  
No title

楕円の方程式におけるK^2=1/82を求めるまでは良かったのですが、この後、楕円の面積の算出法が浮かばず、わざわざ積分しました。
準円の概念もすっかり忘れておりました。
自分分も含め、皆さんへの「回答コメント」を拝見後、復習しました。

uch*n*an  
No title

今回はコメントしないつもりでしたが,たけちゃんのコメントを見て気が変わりました。
私の解法は四つ。
(解法1)と(解法2)は座標によるもので,楕円と正方形が 45°傾いていることを示すもの。
(解法3)は[解答2]と同じですが,たけちゃんさんのおっしゃるとおり,
正方形の頂点が座標軸上であることは特に使う必要はありません。
(解法4)は詳細は少し違いますが考え方は[解答3]や[解答4]とほぼ同じです。
ご参考までに(解法2)を書いておきます。

uch*n*an  
No title

(解法2)
(x,y)-座標系で楕円を,x^2/(5a)^2 + y^2/(4a)^2 = 1,a > 0,とします。
第1象限における正方形の辺による接線を L とすると,楕円の原点に関する対称性より,
原点に関し L と対称な直線 L' も第3象限で楕円と接し,L//L' です。
さらに,正方形に内接することより,L。L' に垂直で,互いには平行な2直線も楕円に接します。
ところが,楕円に接する平行な2直線の距離は,楕円の軸に対称な2直線同士だけ等しいので,
(これは,楕円の曲がり具合,曲率,が単調に変化することから明らか。)
これら4直線でできる図形は楕円の軸を対角線とするひし形です。
そこで,楕円が内接する正方形は楕円の軸を対角線とするもので,一辺が 1 より,
L は,x + y = 1/√2,(√2)x + (√2)y = 1,と書けます。

uch*n*an  
No title

ここで,楕円と L との接点を P(p,q) とすると,
P における接線の式が,px/(5a)^2 + qy/(4a)^2 = 1,なので,
L の式と比較して,p = (√2)(5a)^2,q = (√2)(4a)^2,で,P は楕円上の点なので,
p^2/(5a)^2 + q^2/(4a)^2 = 1,((√2)(5a)^2)^2/(5a)^2 + ((√2)(4a)^2)^2/(4a)^2 = 1,
2(5a)^2 + 2(4a)^2 = 1,82a^2 = 1,a^2 = 1/82
そこで,
楕円の面積 = (5a * 4a)π = (20a^2)π = 10π/41
になります。

ヤドカリ  
No title


写真の花はポンテデリア(ナガバミズアオイ)で、
ミズアオイ科の水生植物です。
原産地は、北アメリカのフロリダ州~テキサス州です。
6~10月頃が開花期ですが、中心は夏、
穂状の花が涼しげです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
上に書きましたように、ポンテデリアの花です。
ホテイアオイと同じミズアオイ科で涼しい感じがします。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
上に書きましたように、ポンテデリアの花です。
薄紫色は気品があって、しかも涼しげですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとナイス!を有難うございます。
流石によくご存知ですね。
水辺に咲く花は、夏の暑さをうまくやり過ごしているのでしょうね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
この前、浜寺公園で「ハマ」のつく花とともに撮ってきました。
ハマボウの黄色とポンテデリアの紫が綺麗でした。

ヤドカリ  
No title

たけちゃんさん、コメントを有難うございます。
正方形の頂点が座標軸上であることは不必要でなのは仰るとおり、
ちょっと解答を書き換えておきました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
私のブログでいつもいろいろ考えて下さり、
興味をもってご覧いただいていることに喜びを感じます。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
きっちり書けば貴殿の(解法2)の通りですが、
私は優柔不断にもそこまでは求めていませんでした。
以前に書いた準円も解法に使いたくなっただけのことでした。