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[答767] 隣あう数字の差が1

ヤドカリ

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[答767] 隣あう数字の差が1


 百の位と十の位,十の位と一の位の差が1である3桁の自然数の集合をAとします。

 例えば、321∈A,343∈A です。

 次に、自然数 n に対して、2進法で表すときの1の個数を B(n) とします。

 例えば、321=101000001(2) より B(321)=3 ,343=101010111(2) より B(343)=6 です。

(1) Aの要素の総和 S=?  (2) n∈A のとき B(n)の最大値は?


[解答]

(1) まず、百の位を n とすれば、十の位と一の位は次の4通りが考えられます。

 (十の位,一の位)=(n-1,n-2),(n-1,n),(n+1,n),(n+1,n+2)

 ただし、n=1 のときの(n-1,n-2) ,n=8 のときの(n+1,n+2) は適しませんので、

 n≦8 のとき 8・4-2=30 個あり、この他に 987,989 があります。

 また、n≦8 のとき 321 と 678 ,343 と 656 のように、和が 999 になるペアが必ずあり、

 30個の和は、999・30/2=14985 です。

 よって、S=14985+987+989=16961 です。


(2) 1023=210-1=1111111111(2) より B(1023)=10 だから、

 B(n)=9 となる n は、

 1023-32=991,1023-64=959,1023-128=895,1023-256=767,1023-512=511 、

 このうち、767∈A だから、B(n)の最大値は B(767)=9 です。

 また、n+m=999 のとき、n+m+24=1023 なので、B(n)+B(m+24)=10 、

 B(m+24)=1 とすれば m+24=32,64,128,256,512 、m=8,40,104,232,488 、

 このうちAの要素は m=232 、よって、B(999-232)=B(767)=10-1=9 としても得られます。

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Comments 12

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ひとりしずか  
No title

細いはなびら楚々と感じますが、集まると華やかさが~
ナイス☆

樹☆  
No title

おはようございます
ハマユウは青い海によく似合う花だと思います。
暑いというひとと比べ涼しげですね。ナイス

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
ハマユウが見事に綺麗に咲いていますね
此方は宮崎の県花と言うだけあって沿道にもずらりと並んで咲いています

近くで見るハマユウの花は真っ白の中に蕊の色が紫がかったようで綺麗ですよね
ナイス☆彡

ニリンソウ  
No title

ハマユウですか!
この花見たことない気がするんです、涼しげですね。

ナイス

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
Sは、4Σ[1~9]から、条件を満たさないものを引いて求めました…
最初は…89(10)=900 が抜けてましたけど…^^;
1の桁数は...解答の前半ような方法でした☆…Orz~
ちなみに…
2進法で1の連続の数で隣り合う数字の差が1であるようなものってあるんだろか…?…^^;

tsuyoshik1942  
No title

「解答」と似たような歩みですが、自分は10の位の数字を中心に考えました。
総和Sの算出には、いくつかの計算を実施しました。
B(n)の最大値は、最初に767を推定、これが9であることを確かめ、次に、他はこれ以下であることを確かめました。

やさしいけど、毛色が変わっていて楽しかったです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ハマユウの細い花弁も集まるとにぎやかですね。
素敵な花だと思います。

ヤドカリ  
No title

樹ちゃん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
ハマユウのバックはやはり青い海がいいですね。
海が遠くてなかなかそのような場所にはいけませんが、綺麗に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとナイス!を有難うございます。
やはり、日南海岸の方がハマユウには似合いますね。
こちらでも、ハマユウの花だけは見られます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
ハマユウは白くて涼しげな感じがしますが、暑い季節に咲きます。
この写真を撮ったのは朝でしたが、暑い日でした。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
このような問題は試行錯誤で何とかなりますが、
注意力は必要ですね。
なお、コメントの最後の行の意味が分かりません。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
1023 は2進法で1が10個だと分かりますが、
1つだけ0になるものを考え、この問題を思いつきました。
仰るとおり、毛色の変わった問題だと思います。