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[答73] 循環小数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答73] 循環小数


 1/511 を循環小数に直すと、小数第73位の数字は?



[解答]

 1/511=21/73-2/7、

 21/73=0.28767123 28767123 …… で、循環節は8桁、

 2/7=0.285714 285714 …… で、循環節は6桁、

 従って、1/511 の循環節は24桁になります。

 73÷24=3 余り 1 だから、小数第73位の数字は小数第1位の数字に等しい。

 1/511=21/73-2/7=0.0019…… となって、小数第1位の数字は0です。

 なお、循環節の小数第24位まで示すと、

   0.287671232876712328767123 ……
'  -0.285714285714285714285714 ……
   0.001956947162426614481409 ……

 1/511=0.001956947162426614481409 …… です。

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Comments 7

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ヤドカリ  
No title

やっと昨年末に出題した問題の解答説明が終わりました。
これから問題作りに励まねばなりません。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
511=7*73 なので...
7-1=6
73-1=72
72 は6の倍数なので...
最大でも、72個で循環するから...73番目は最初の0
ではいけませんでしょうか・・・^^?

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、(2,5以外の)素数pを分母とする循環小数の循環節の長さは p-1 の約数になることはよく知られていますが、その理由を説明するのは結構大変です。それを避けて上記のような解答にしました。それに、上記の解答は循環節の長さと循環節自体も分かります。
勿論、貴殿の解答も既知のことを使っていますので正解です。
第73問にこだわらず、小数第25位か思い切って小数第1000位を求める問題にしてもよかったかと思います。そうしても73はヒントになりますから。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
ありがとうございました Orz...
>1/511=21/73-2/7
が...思いつくのが難しいですね ^^;

わたしのは...一般の数 n においても...多くても n-1の長さの循環になるしかないという割り算(余り)だけで言えると思うので...
72は6の倍数だから...絶対それより短い循環節の長さの倍数でもあるからってことでした...
だから...もし、25位や1000位だったら分からなかったかなあ...^^;

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
>>1/511=21/73-2/7
>が...思いつくのが難しいですね ^^;
ということですが、1/511=a/73+b/7 とでもして、分母を払えば出てきます。

再出発  
No title

言われてみれば部分分数分解するのが手筋(?)でした。が、そこまで思いが及びませんでした。「目からウロコ」です。

ヤドカリ  
No title

再出発さん、コメントを有難う御座います。
部分分数は時々威力を発揮しますよね。